Построй график функции. И укажи вершину параболы и нули функции
Сверь числа и знаки с фото.
\(y = x^2 - 2x - 3\)
y \(g(x) = x^2 + 10x + 20\) [запись у края кадра]
Динамика:
\(x^2 - 4x + \ldots\) [обрезано]
Краткий ответ
Для функции
\[ y = x^2 - 2x - 3 \]
- ветви параболы направлены вверх (\(a = 1 > 0\));
- вершина параболы: \((1; -4)\);
- нули функции: \(x = -1\) и \(x = 3\), то есть точки \((-1; 0)\) и \((3; 0)\);
- ось симметрии \(x = 1\); точка пересечения с осью \(Oy\) — \((0; -3)\), симметричная ей — \((2; -3)\).
Ключевые шаги
1. Вершина. Абсцисса вершины считается по формуле:
\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \]
Подставляем \(x_0\) в саму функцию:
\[ y_0 = 1^2 - 2\cdot 1 - 3 = -4 \]
Вершина — \((1; -4)\). Так как \(a > 0\), это самая нижняя точка графика, то есть минимум.
2. Нули функции — это такие \(x\), при которых \(y = 0\):
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16, \qquad \sqrt{D} = 4 \]
\[ x_{1,2} = \frac{2 \pm 4}{2} \quad\Rightarrow\quad x_1 = -1,\; x_2 = 3 \]
Проверка по теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 2\), \(x_1 x_2 = -3\) — сходится.
3. Таблица точек. Берём \(x\) парами, симметрично относительно \(x_0 = 1\):
| \(x\) | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
4. Построение графика. Отмечаем точки и соединяем плавной кривой: внизу вершина \((1; -4)\), ветви уходят вверх, ось \(Ox\) пересекается в \((-1; 0)\) и \((3; 0)\), ось \(Oy\) — в \((0; -3)\), причём через \((2; -3)\) проходит симметричная точка.
Проверка
- \(y(1) = 1 - 2 - 3 = -4\) — вершина верна ✓
- \(y(-1) = 1 + 2 - 3 = 0\), \(y(3) = 9 - 6 - 3 = 0\) — нули верны ✓
- Симметрия: \(y(0) = y(2) = -3\), \(y(-2) = y(4) = 5\) ✓
Чтобы решить похожее задание
Для любой \(y = ax^2 + bx + c\):
- найти \(x_0 = -\frac{b}{2a}\), затем \(y_0\) подстановкой;
- нули — решить \(ax^2 + bx + c = 0\) (через дискриминант или Виета);
- составить таблицу: вершина плюс 2–3 пары симметричных точек;
- если \(a > 0\) — ветви вверх (вершина даёт минимум), если \(a < 0\) — вниз (максимум).
На фото рядом есть ещё записи (\(g(x) = \ldots\) и \(x^2 - 4x + \ldots\)), но они частично обрезаны краем кадра — если нужно разобрать и их, пришли кадр целиком.
Обсуждение
2 сообщенияВот 1 задание
Заполнил таблицу для \(y = x^2 - 2x - 3\):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(5\) | \(0\) | \(-3\) | \(-4\) | \(-3\) |
Проверка по твоим строкам:
\[ \begin{aligned} y(-2) &= (-2)^2 - 2\cdot(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5,\\ y(-1) &= (-1)^2 - 2\cdot(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0,\\ y(0) &= 0^2 - 2\cdot 0 - 3 = -3,\\ y(1) &= 1^2 - 2\cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4,\\ y(2) &= 2^2 - 2\cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3. \end{aligned} \]
Две важные поправки в записи:
- Квадрат отрицательного числа берём в скобки: \((-2)^2 = 4\), а запись \(-2^2\) означает \(-4\). То же с \(x=-1\): нужно \((-1)^2\), иначе знак теряется.
- Для \(x=2\) первое слагаемое — это \(2^2 = 4\), а не \(2\): иначе получится \(2-4-3=-5\) вместо \(-3\).
Как это связано с графиком: в таблице уже есть вершина — точка \((1;-4)\), самая нижняя. Нули функции — \(x=-1\) (есть в таблице) и \(x=3\); добавь столбик \(x=3\), тогда \(y=0\). Для симметрии можно добавить \(x=4\): \(y=5\).
Отмечаешь точки \((-2;5)\), \((-1;0)\), \((0;-3)\), \((1;-4)\), \((2;-3)\), \((3;0)\), \((4;5)\) и соединяешь плавной линией — ветви параболы идут вверх, ось симметрии \(x=1\).
Если вверху листа тоже нужно разложение \(x^2-14x+45\), то оно равно \((x-5)(x-9)\): \(5+9=14\), \(5\cdot9=45\).
