1) 3ˣ = 1/9, 2) 5ˣ⁺³ = 25, 3) 7²ˣ⁻⁴ = 1, 4) 3ˣ = 1/81, 5) (8/3)ˣ = (3/8)⁴, 6) 2ʸ⁺³ = 32

Краткий ответ

Уравнение в рамке: \[9^x\cdot3^x=81\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}.\]

Остальные номера:

1. \(x=-2\); 2) \(x=-1\); 3) \(x=2\); 4) \(x=-4\); 5) \(x=-4\); 6) \(y=2\); 7) \(x=\frac{4}{3}\); 8) \(x=-\frac{3}{2}\); 9) \(x=-5\); 11) \(x=\frac{9}{4}\); 12) \(x=\frac{10}{7}\).

По №10 правая часть на фото не читается надёжно — нужен более чёткий фрагмент.

Принцип

Все уравнения — показательные. Общий приём: привести обе части к одному основанию \(a>0\), \(a\ne 1\). Тогда из \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) следует \(f(x)=g(x)\): показательная функция монотонна, каждое значение принимает один раз.

Что помогает: \[a^0=1,\qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n},\qquad \left(\frac{b}{a}\right)^n=\left(\frac{a}{b}\right)^{-n},\qquad a^{mn}=(a^m)^n.\] И разложения: \(25=5^2\), \(32=2^5\), \(16=2^4\), \(8=2^3\), \(9=3^2\), \(27=3^3\), \(81=3^4\).

Ключевые шаги

1. \(3^x=3^{-2}\) → \(x=-2\).

2. \(5^{x+3}=5^2\) → \(x+3=2\) → \(x=-1\).

3. \(7^{2x-4}=7^0\) → \(2x-4=0\) → \(x=2\).

4. \(3^x=3^{-4}\) → \(x=-4\).

5. \(\left(\frac{3}{8}\right)^4=\left(\left(\frac{8}{3}\right)^{-1}\right)^4=\left(\frac{8}{3}\right)^{-4}\) → \(x=-4\).

6. \(2^{y+3}=2^5\) → \(y+3=5\) → \(y=2\).

7. \(8=2^3\), \(16=2^4\): \(2^{3x}=2^4\) → \(x=\frac{4}{3}\).

8. \(9=3^2\), \(27=3^3\): \(3^{-2x}=3^3\) → \(-2x=3\) → \(x=-\frac{3}{2}\).

9. \(\left(\frac{4}{5}\right)^5=\left(\frac{5}{4}\right)^{-5}\) → \(x=-5\).

10. \(2^{6-x}=2^{3x-3}\): \(6-x=3x-3\) → \(9=4x\) → \(x=\frac{9}{4}\).

11. \(\left(\frac{7}{3}\right)^{4x-3}=\left(\frac{3}{7}\right)^{-(4x-3)}\): \(3x-7=-(4x-3)\) → \(7x=10\) → \(x=\frac{10}{7}\).

Рамка \[9^x\cdot3^x=(9\cdot3)^x=27^x=(3^3)^x=3^{3x},\qquad 81=3^4,\] \[3x=4\quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{3}.\]

Проверка

Я проверил выборочно:

• №1: \(3^{-2}=\frac{1}{9}\) — верно.
• №7: \(8^{4/3}=(2^3)^{4/3}=2^4=16\) — верно.
• №8: \(9^{3/2}=(\sqrt{9})^3=27\) — верно.
• №11: \(6-\frac{9}{4}=\frac{15}{4}\) и \(3\cdot\frac{9}{4}-3=\frac{15}{4}\) — верно.
• Рамка: \(27^{4/3}=3^4=81\) — верно.

№10. В правой части видна дробь со степенью, но цифры не читаются надёжно. Пришли более чёткий фрагмент — дорешаю. Если там \(\left(\frac{4}{3}\right)^x=\left(\frac{3}{4}\right)^n\), то \(x=-n\).