На фотографии страница учебника с заданиями 19.4–19.12 по тригонометрическим уравнениям; конкретный номер для решения не указан.

Пункт 19.5 на фото не читается — я не могу разобрать его условие, а угадывать задание не буду.

Пришли, пожалуйста, условие 19.5 текстом или отдельным крупным снимком (только этот пункт). Как только увижу его, сразу дам краткий ответ, а затем пошаговое решение с объяснением.

19.5 — шесть простейших тригонометрических уравнений. Сначала общий каркас, потом каждый пункт.

Ключевые формулы (\(n,k\in\mathbb Z\)): \[ \sin t=a:\ t=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\qquad \cos t=a:\ t=\pm\arccos a+2\pi n, \] \[ \operatorname{tg} t=a:\ t=\operatorname{arctg} a+\pi n,\qquad \operatorname{ctg} t=a:\ t=\operatorname{arcctg} a+\pi n. \]

Приём один: сначала решаем уравнение для целого угла (2x, 3x, x/2), потом делим обе части на коэффициент при \(x\). Период тоже делится на этот коэффициент.

1) \(\sin 2x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) \[ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n \;\Rightarrow\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}. \] Проверка: \(n=0 \Rightarrow x=\pi/6,\ \sin(\pi/3)=\sqrt3/2\) ✓

2) \(\cos 3x=\dfrac{\sqrt2}{2}\) \[ 3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k \;\Rightarrow\; x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}. \]

3) \(\sin 2x=-\dfrac12\) \[ 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \;\Rightarrow\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \] (то же самое: \(x=(-1)^n\cdot\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi n}{2}\))

4) \(\operatorname{tg} 0{,}5x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\), где \(0{,}5x=\dfrac{x}{2}\) \[ \frac{x}{2}=\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi k \;\Rightarrow\; x=2\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+2\pi k, \] то есть \[ x=-2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2}+2\pi k\quad(\approx -1{,}43+2\pi k). \] Значение \(\frac{\sqrt3}{2}\) не табличное, поэтому ответ остаётся через арктангенс; период удваивается, так как делили на \(0{,}5\).

5) \(\sin 4x=0\) \[ 4x=\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi n}{4}. \]

6) \(\operatorname{ctg} 3x=-1\) \[ 3x=\frac{3\pi}{4}+\pi k \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}. \] Проверка: при \(k=0\) имеем \(3x=3\pi/4\), \(\operatorname{ctg}\frac{3\pi}{4}=-1\) ✓

Ответы:

1. \(x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}\);
2. \(x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}\);
3. \(x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}\);
4. \(x=-2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2}+2\pi k\);
5. \(x=\frac{\pi n}{4}\);
6. \(x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}\), \(n,k\in\mathbb Z\).

Условие 19.7 на фото не разбираю, а придумывать уравнения не стану — иначе решение будет не про твоё задание.

Пришли, пожалуйста, 19.7 текстом (или отдельным крупным снимком только этого пункта) — сразу дам краткие ответы и пошаговое решение с проверкой, как для 19.5.

19.7 — шесть уравнений, где угол «сдвинут». Приём такой же, как в 19.5: обозначаем весь угол одной буквой, решаем простейшее уравнение, а потом выражаем \(x\) (и не забываем, что период делится на коэффициент при \(x\)).

Краткие ответы (\(n,k\in\mathbb Z\)):

1. \(x=\dfrac{\pi}{6}+(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{2}\);
2. \(x=\pm\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{2\pi k}{3}\);
3. \(x=1+(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2}\);
4. \(x=-4-2\operatorname{arctg}\dfrac{\sqrt3}{2}+2\pi k\);
5. \(x=\dfrac{1+\pi n}{4}\);
6. \(x=\dfrac{\pi k}{2}\).

Как получается каждый:

1) \(\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\). Пусть \(t=2x-\frac{\pi}{3}\). Тогда \(t=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n\), значит \[ 2x=\frac{\pi}{3}+(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{6}+(-1)^n\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}. \] Проверка (\(n=0\)): \(x=\frac{\pi}{3}\), угол \(=\frac{\pi}{3}\), \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) ✓

2) \(\cos(-3x)=\frac{\sqrt2}{2}\). Косинус чётный: \(\cos(-3x)=\cos 3x\). Тогда \(3x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k\), откуда \(x=\pm\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi k}{3}\).

3) \(\sin\bigl(2(x-1)\bigr)=-\frac12\). Пусть \(t=2(x-1)\). Тогда \(t=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n\), то есть \[ x-1=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2} \;\Rightarrow\; x=1+(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \] Здесь \(1\) — это число (сдвиг), а не угол. Проверка (\(n=0\)): \(x=1-\frac{\pi}{12}\), \(t=-\frac{\pi}{6}\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12\) ✓

4) \(\operatorname{tg}(0{,}5x+2)=-\frac{\sqrt3}{2}\). Пусть \(t=0{,}5x+2\). Тогда \(t=\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi k=-\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2}+\pi k\), и \[ 0{,}5x=-2-\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2}+\pi k \;\Rightarrow\; x=-4-2\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2}+2\pi k. \] \(\operatorname{arctg}\frac{\sqrt3}{2}\) — не табличное значение, поэтому оставляем так (численно \(x\approx -5{,}43+2\pi k\)). Период удвоился, потому что делили на \(0{,}5\).

5) \(\sin(4x-1)=0\). Значит \(4x-1=\pi n\), откуда \(x=\frac{1+\pi n}{4}\).

6) \(\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=1\). Тогда \(\frac{\pi}{4}-2x=\frac{\pi}{4}+\pi k\), то есть \(-2x=\pi k\), и \[ x=-\frac{\pi k}{2}=\frac{\pi m}{2}\quad(m\in\mathbb Z). \] Проверка (\(x=\frac{\pi}{2}\)): \(\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{3\pi}{4}\), \(\operatorname{ctg}\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=1\) ✓

Общий принцип: сложный аргумент решаем как обычный угол, а потом «распутываем» \(x\) делением — вместе с периодом.

19.9 — четыре уравнения на формулы сложения. Смысл один: свернуть левую часть в одну тригонометрическую функцию, а дальше решать как простейшее.

Нужные формулы (\(n,k\in\mathbb Z\)): \[ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,\qquad \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta, \] \[ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\qquad \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \]

Краткие ответы:

1. \(x=(-1)^n\dfrac{\pi}{21}+\dfrac{\pi n}{7}\);
2. \(x=(-1)^{n+1}\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2}\);
3. \(x=\pm\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi k}{2}\);
4. \(x=\pm\dfrac{\pi}{21}+\dfrac{2\pi k}{7}\).

Решения по шагам:

1) \(\sin3x\cos4x+\cos3x\sin4x=\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Это правая часть формулы синуса суммы с \(\alpha=3x,\ \beta=4x\): \[ \sin(3x+4x)=\sin 7x=\frac{\sqrt3}{2}. \] \[ 7x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n \;\Rightarrow\; x=(-1)^n\frac{\pi}{21}+\frac{\pi n}{7}. \] Проверка (\(n=0\)): \(x=\frac{\pi}{21}\), угол \(7x=\frac{\pi}{3}\), \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\) ✓

2) \(\sin5x\cos3x-\cos5x\sin3x=-0{,}5\)

Это синус разности с \(\alpha=5x,\ \beta=3x\) (знак «минус» — как в формуле): \[ \sin(5x-3x)=\sin2x=-\frac12. \] \[ 2x=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\pi n \;\Rightarrow\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}. \] Проверка (\(n=0\)): \(x=-\frac{\pi}{12}\), \(2x=-\frac{\pi}{6}\), \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12\) ✓

3) \(\cos8x\cos4x+\sin8x\sin4x=-\dfrac12\)

Это косинус разности (у него как раз плюс между слагаемыми): \[ \cos(8x-4x)=\cos4x=-\frac12. \] \[ 4x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k \;\Rightarrow\; x=\pm\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}. \] Проверка: \(x=\frac{\pi}{6}\), \(\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12\) ✓

4) \(\cos3x\cos4x-\sin3x\sin4x=\dfrac12\)

Косинус суммы: \[ \cos(3x+4x)=\cos7x=\frac12, \] \[ 7x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k \;\Rightarrow\; x=\pm\frac{\pi}{21}+\frac{2\pi k}{7}. \]

Как не путаться: смотри на средний знак и на то, какие функции перемножаются. Синусы с косинусами и «плюс» — \(\sin(\alpha+\beta)\); синусы с косинусами и «минус» — \(\sin(\alpha-\beta)\); два косинуса и «плюс» — \(\cos(\alpha-\beta)\); два косинуса и «минус» — \(\cos(\alpha+\beta)\). Затем решаешь простейшее и делишь период на коэффициент при \(x\).

По фото 19.10 читается отчётливо — решаю его.

Все четыре уравнения решаются преобразованием суммы/разности в произведение:

\[ \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \] \[ \sin\alpha-\sin\beta=2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}, \] \[ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \] \[ \cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}. \]

Краткие ответы (\(n,k\in\mathbb Z\)):

1. \(x=\dfrac{\pi n}{2}\);
2. \(x=\dfrac{\pi n}{2}\) или \(x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}\);
3. \(x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\) или \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\);
4. \(x=\dfrac{\pi n}{2}\).

---

1) \(\sin x+\sin 3x=0\)

\[ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x=0. \]

Отсюда:

• \(\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\dfrac{\pi n}{2}\);
• \(\cos x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\) — это уже входит в \(x=\dfrac{\pi n}{2}\) при нечётных \(n\).

Ответ: \(x=\dfrac{\pi n}{2}\).

---

2) \(\sin 7x-\sin 3x=0\)

\[ \sin 7x-\sin 3x=2\sin 2x\cos 5x=0. \]

Значит:

• \(\sin 2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi n}{2}\);
• \(\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}\).

Ответ: \(x=\dfrac{\pi n}{2}\) или \(x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi k}{5}\).

---

3) \(\cos 3x+\cos x=0\)

\[ \cos 3x+\cos x=2\cos 2x\cos x=0. \]

Тогда:

• \(\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\);
• \(\cos x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\).

Эти серии не входят одна в другую: например, \(x=\dfrac{\pi}{2}\) даёт \(\cos 2x=-1\), а \(x=\dfrac{\pi}{4}\) не является решением \(\cos x=0\).

Ответ: \(x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\) или \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\).

---

4) \(\cos 3x-\cos x=0\)

\[ \cos 3x-\cos x=-2\sin 2x\sin x=0. \]

Отсюда:

• \(\sin 2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi n}{2}\);
• \(\sin x=0 \Rightarrow x=\pi k\) — это входит в предыдущее при чётных \(n\).

Ответ: \(x=\dfrac{\pi n}{2}\).

---

Проверка выборочно:

• \(x=\dfrac{\pi}{10}\) в п. 2: \(\sin\dfrac{7\pi}{10}-\sin\dfrac{3\pi}{10}=0\) ✓
• \(x=\dfrac{\pi}{4}\) в п. 3: \(\cos\dfrac{3\pi}{4}+\cos\dfrac{\pi}{4}=0\) ✓

Общий принцип: сворачиваем сумму или разность в произведение, приравниваем каждый множитель к нулю и решаем простейшие уравнения.

21.11 — четыре уравнения на формулы двойного угла:

\[ \sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha, \] \[ \cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha, \qquad \sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha. \]

Краткие ответы (\(n\in\mathbb Z\)):

1. \(x=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{3}\);
2. \(x=\pm\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi n}{2}\);
3. \(x=-\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{2}\);
4. \(x=\pm\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{\pi n}{3}\).

---

1) \(\sin3x\cos3x=0{,}5\)

По формуле \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha\):

\[ \sin3x\cos3x=\frac12\sin6x. \]

Значит:

\[ \frac12\sin6x=\frac12 \quad\Rightarrow\quad \sin6x=1. \]

\[ 6x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}}. \]

Проверка при \(n=0\): \(x=\frac{\pi}{12}\), тогда \(3x=\frac{\pi}{4}\), и \[ \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4}=\frac12. \]

---

2) \(\cos^2 2x-\sin^2 2x=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)

Применяем формулу \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos2\alpha\), где \(\alpha=2x\):

\[ \cos^2 2x-\sin^2 2x=\cos4x. \]

Получаем:

\[ \cos4x=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Так как \(\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\):

\[ 4x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n. \]

Делим на \(4\):

\[ \boxed{x=\pm\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}}. \]

---

3) \(\sin2x\cos2x=-\dfrac12\)

Снова используем \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\sin2\alpha\):

\[ \sin2x\cos2x=\frac12\sin4x. \]

Тогда:

\[ \frac12\sin4x=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad \sin4x=-1. \]

\[ 4x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}}. \]

Можно записать и так:

\[ x=\frac{3\pi}{8}+\frac{\pi n}{2} \]

— это та же серия решений.

---

4) \(\sin^2 3x-\cos^2 3x=-\dfrac12\)

Используем:

\[ \sin^2\alpha-\cos^2\alpha=-\cos2\alpha. \]

При \(\alpha=3x\):

\[ \sin^2 3x-\cos^2 3x=-\cos6x. \]

Значит:

\[ -\cos6x=-\frac12 \quad\Rightarrow\quad \cos6x=\frac12. \]

\[ 6x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad \boxed{x=\pm\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}}. \]

Главный принцип: произведение \(\sin\alpha\cos\alpha\) превращаем в \(\frac12\sin2\alpha\), а разность квадратов синуса и косинуса — в косинус двойного угла. После этого решаем простейшее уравнение и делим период на коэффициент при \(x\).