Иште с рисунком

Решаю I вариант — он виден полностью.

Коротко:

1. Возрастает на \((-\infty;-1)\) и \((1;+\infty)\), убывает на \((-1;1)\); \(x=-1\) — максимум, \(x=1\) — минимум.
2. \(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=[-1;3]\); максимум \(3\), минимум \(-1\).
3. а) \(\pi\); б) \(\dfrac{\pi}{12}\).
4. а) \(x=\pm\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\); б) \(x=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi n}{2}\).

1. \(f(x)=x^3-3x\)

\[ f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). \]

Критические точки: \(x=-1\) и \(x=1\).

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & -1 & & 1 & +\infty\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ f(x) & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array} \]

Значит:

• возрастает на \((-\infty;-1)\) и \((1;+\infty)\);
• убывает на \((-1;1)\);
• \(x=-1\) — точка максимума, \(f(-1)=2\);
• \(x=1\) — точка минимума, \(f(1)=-2\).

Точки экстремума: \((-1;2)\) — максимум, \((1;-2)\) — минимум.

Для рисунка: кубическая кривая проходит через \(x=-\sqrt3,0,\sqrt3\), имеет локальный максимум \((-1;2)\) и локальный минимум \((1;-2)\).

2. \(y=2\sin x+1\)

Так как \[ -1\le \sin x\le 1, \] то \[ -1\le 2\sin x+1\le 3. \]

Значит:

• область определения: \(D(y)=\mathbb R\);
• область значений: \(E(y)=[-1;3]\);
• наибольшее значение: \(y_{\max}=3\), при \(x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\);
• наименьшее значение: \(y_{\min}=-1\), при \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\).

График — синусоида \(y=\sin x\), растянутая по вертикали в 2 раза и поднятая на 1. Ключевые точки: \((0;1)\), \(\left(\frac{\pi}{2};3\right)\), \((\pi;1)\), \(\left(\frac{3\pi}{2};-1\right)\), \((2\pi;1)\).

3. Обратные тригонометрические функции

а) \[ \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},\qquad \arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}. \]

\[ \arcsin\frac{\sqrt3}{2}+\arccos\left(-\frac12\right) =\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}=\pi. \]

б) \[ \operatorname{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3},\qquad \operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4}. \]

\[ \operatorname{arctg}\sqrt3-\operatorname{arctg}1 =\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{12}. \]

4. Уравнения

а) \[ \cos x=\frac{\sqrt2}{2}. \]

\[ x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

б) \[ \sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=0. \]

Если \(\sin u=0\), то \(u=\pi n\). Поэтому: \[ 2x-\frac{\pi}{4}=\pi n. \]

\[ 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n, \] \[ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z. \]

Проверка: подстановка \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}\) даёт \(2x-\frac{\pi}{4}=\pi n\), а \(\sin(\pi n)=0\). В задании 1 знаки производной подтверждают чередование возрастания и убывания.