4. Решить неравенство.

Краткий ответ: \[ x\in\left(-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3};\ \frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}\right),\quad k\in\mathbb Z. \]

Вторая строка на фото — правильный первый шаг: делим обе части на \(\sqrt3>0\), поэтому знак неравенства не меняется: \[ \operatorname{tg}\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)<\frac{1}{\sqrt3}. \]

Как это получается

1. Обозначим \(t=3x-\frac{\pi}{6}\). Тогда нужно решить \[ \operatorname{tg} t<\frac{1}{\sqrt3}. \]

2. Тангенс имеет период \(\pi\) и возрастает на каждом промежутке \[ \left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right). \] При этом \[ \operatorname{tg}\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}. \] Поэтому на одном периоде: \[ -\frac{\pi}{2}+\pi k<t<\frac{\pi}{6}+\pi k. \]

3. Возвращаемся к \(x\): \[ -\frac{\pi}{2}+\pi k<3x-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{6}+\pi k. \] Прибавляем \(\frac{\pi}{6}\): \[ -\frac{\pi}{3}+\pi k<3x<\frac{\pi}{3}+\pi k. \] Делим на \(3\): \[ -\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}<x<\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3}. \]

Границы не включаются: неравенство строгое, а при \(x=\frac{\pi}{9}\) получается ровно \(1\), то есть равенство. Левая граница соответствует вертикальной асимптоте тангенса.

Проверка: при \(x=0\) \[ \sqrt3\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-1<1, \] значит \(x=0\) подходит и действительно лежит в промежутке при \(k=0\).