1. Чиймени колдонуп: а) В чекити жаткан үч тегиздикти;

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
1. Чиймени колдонуп:
a) В чекити жаткан үч тегиздикти;
б) $A_1B_1C_1$ жана $B_1BD$ тегиздиктеринин кесилишиндеги түз сызыкты;
в) AD жана $C_1A$ түз сызыктары аркылуу өткөн тегиздикти жазгыла.
[Рисунок: куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$; передняя грань $ABCD$, задняя грань $A_1B_1C_1D_1$; видны рёбра $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$.]

2. Параллель $a, b$ түз сызыгы жана анда жатпаган $C$ чекити берилсин. $C$ чекити аркылуу өткөн жана $a, b$ түз сызыктарына кайчылаш болгон түз сызык сызгыла.

3. Квадраттын үч чокусу $\alpha$ тегиздигинде жатат. Квадраттын төртүнчү чокусу дагы ушул тегиздикте жатарын далилдегиле.

4. $BCK$ үч бурчтугу жана $ABCD$ тик бурчтугу бир тегиздикте жатпайт. $M$ жана $N$ чекиттери $BK$, $KC$ нын ортолору. Эгерде $MN=8$ см болсо, анда $AD=?$
[Рисунок: прямоугольник $ABCD$; на стороне $BC$ расположен треугольник $BCK$ с вершиной $K$; $M$ лежит на $BK$, $N$ — на $KC$.]

5. $ABCD$ параллелограммынын $A$ чокусу аркылуу $\alpha$ тегиздиги жүргүзүлсүн. $B,C,D$ чекиттери аркылуу $\alpha$ тегиздигине перпендикуляр түз сызыктар жүргүзүлсүн. Кесилиш чекиттери $B_1, C_1, D_1$. Эгерде $BB_1=3$ см, $DD_1=7$ см болсо, анда $CC_1=?$

Answer

На фото пять заданий — решаю все.

Краткие ответы

1. а) $(ABCD)$, $(ABB_1A_1)$, $(BCC_1B_1)$;
б) $B_1D_1$;
в) $(ADC_1)$.

2. Через $C$ и точку $P$ плоскости прямых $a,b$, не лежащую на $a,b$, провести прямую $CP$.

3. Четвёртая вершина квадрата лежит в $\alpha$.

4. $AD=16$ см.

5. $CC_1=10$ см.

Почему так

1. Куб.
Через вершину $B$ проходят три грани-плоскости: передняя $(ABCD)$, левая $(ABB_1A_1)$ и нижняя $(BCC_1B_1)$.

Плоскость $A_1B_1C_1$ — это задняя грань. Плоскость $B_1BD$ пересекает её по прямой $B_1D_1$, так как $D_1D\parallel B_1B$.

Прямые $AD$ и $C_1A$ пересекаются в точке $A$, поэтому задают плоскость $ADC_1$. Она же проходит через $B_1$, то есть это плоскость $ADB_1C_1$.

2. Построение скрещивающейся прямой.
Пусть $\beta$ — плоскость прямых $a$ и $b$. Берём в $\beta$ точку $P$, не лежащую ни на $a$, ни на $b$, и проводим $CP$. Прямая $CP$ пересекает плоскость $\beta$ только в точке $P$, поэтому она не может пересечь $a$ или $b$. Она также не параллельна им, иначе лежала бы в $\beta$. Значит, $CP$ скрещивается с обеими прямыми.

3. Доказательство.
Три вершины квадрата не лежат на одной прямой, поэтому через них проходит единственная плоскость. Это и есть $\alpha$. Плоскость квадрата содержит эти три вершины, значит, совпадает с $\alpha$. Следовательно, четвёртая вершина квадрата тоже лежит в $\alpha$, а значит, и четвёртая сторона лежит в этой плоскости.

4. Средняя линия треугольника.
В треугольнике $BCK$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $BK$ и $KC$. Значит, $MN$ — средняя линия:
$$
MN=\frac{BC}{2}.
$$
Отсюда
$$
BC=2\cdot 8=16\text{ см}.
$$
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому
$$
AD=BC=16\text{ см}.
$$

5. Параллелограмм и плоскость.
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Проведём через $O$ прямую, параллельную данным прямым, до пересечения с $\alpha$ в точке $O_1$.

В треугольнике $ACC_1$ отрезок $OO_1$ параллелен $CC_1$ и соединяет середину $AC$ с серединой $AC_1$, значит,
$$
OO_1=\frac{CC_1}{2}.
$$
В трапеции $BDD_1B_1$ отрезок $OO_1$ — средняя линия:
$$
OO_1=\frac{BB_1+DD_1}{2}.
$$
Приравниваем:
$$
\frac{CC_1}{2}=\frac{3+7}{2},
$$
$$
CC_1=10\text{ см}.
$$