Вычислить площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке.

Кратко:

I. \(4\frac{2}{3}\);
II. \(4\);
III. \(4{,}5\);
IV. \(\frac{1}{3}\).

Общий принцип: площадь под графиком \(y=f(x)\) на отрезке \([a;b]\) считают через определённый интеграл:

\[ S=\int_a^b f(x)\,dx. \]

Если фигура расположена ниже оси \(Ox\), берут модуль интеграла. Если фигура ограничена двумя графиками, интегрируют «верхнюю функцию минус нижнюю».

I. Рис. 8

Пределы интегрирования: от \(0\) до \(2\). По графику площадь:

\[ S_1=\int_0^2 (x^2+x)\,dx =\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^2 =\frac{8}{3}+2 =\frac{14}{3} =4\frac{2}{3}. \]

II. Рис. 9

\[ y=2\sin x,\qquad 0\le x\le \pi. \]

На этом отрезке синус неотрицателен, поэтому:

\[ S_2=\int_0^\pi 2\sin x\,dx =\left[-2\cos x\right]_0^\pi =2+2=4. \]

III. Рис. 10

\[ y=-3x-x^2=-x(x+3). \]

Корни: \(-3\) и \(0\). На отрезке \([-3;0]\) функция неотрицательна:

\[ S_3=\int_{-3}^0 (-3x-x^2)\,dx =\left[-\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^0 =0-\left(-\frac{27}{2}+9\right) =\frac{9}{2}=4{,}5. \]

IV. Рис. 11

\[ y=4x-x^2-3. \]

Корни:

\[ 4x-x^2-3=0 \] \[ x^2-4x+3=0 \] \[ x_1=1,\quad x_2=3. \]

Вершина параболы: \(x=2\), \(y=1\). Площадь под всей параболой:

\[ S_{\text{пар}}=\int_1^3(4x-x^2-3)\,dx =\left[2x^2-\frac{x^3}{3}-3x\right]_1^3 =\frac{4}{3}. \]

На рисунке заштрихованы участки между параболой и треугольником с вершинами \((1;0)\), \((2;1)\), \((3;0)\). Его площадь:

\[ S_{\triangle}=\frac{1}{2}\cdot (3-1)\cdot 1=1. \]

Поэтому заштрихованная площадь:

\[ S_4=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}. \]

Проверил: все площади положительны, а для IV ответ \(\frac13\) соответствует именно заштрихованным участкам; площадь всей области под параболой была бы \(\frac43\).