чыгар

Кыска жооп (I вариант)

1. а) \(\frac{x^{4}}{4}-2\operatorname{arctg}x+C\); б) \(-\operatorname{ctg}\frac{x}{2}+C\)
2. а) \(\frac{(x^{3}-1)^{5}}{15}+C\); б) \(\frac{1}{\cos x}+C\)
3. а) \(\frac{x}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C\); б) \(x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C\)
4. \(\frac{5}{2}=2{,}5\)
5. \(S=\frac{9}{2}=4{,}5\)

1. Аныкталбаган интегралдар

а) Алымды бөлүп алабыз: \(x^{5}+x^{3}=x^{3}(x^{2}+1)\), ошондуктан \[ \frac{x^{5}+x^{3}-2}{x^{2}+1}=\frac{x^{3}(x^{2}+1)-2}{x^{2}+1}=x^{3}-\frac{2}{x^{2}+1}. \] Андан ары таблицалык интегралдар: \[ \int\left(x^{3}-\frac{2}{x^{2}+1}\right)dx=\frac{x^{4}}{4}-2\operatorname{arctg}x+C. \]

б) Жарым бурчтун формуласы боюнча \(1-\cos x=2\sin^{2}\frac{x}{2}\): \[ \int\frac{dx}{1-\cos x}=\int\frac{dx}{2\sin^{2}\frac{x}{2}}=-\operatorname{ctg}\frac{x}{2}+C. \] Себеби \(\left(\operatorname{ctg}u\right)'=-\frac{1}{\sin^{2}u}\), ал эми \(u=\frac{x}{2}\) болгондо дагы \(\frac{1}{2}\) пайда болот.

2. Алмаштыруу ыкмасы

а) \(u=x^{3}-1\), \(du=3x^{2}dx\), демек \(x^{2}dx=\frac{du}{3}\): \[ \int (x^{3}-1)^{4}x^{2}dx=\frac{1}{3}\int u^{4}du=\frac{u^{5}}{15}+C=\frac{(x^{3}-1)^{5}}{15}+C. \]

б) \(\frac{\operatorname{tg}x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos^{2}x}\). \(u=\cos x\), \(du=-\sin x\,dx\): \[ \int\frac{\sin x}{\cos^{2}x}dx=-\int\frac{du}{u^{2}}=\frac{1}{u}+C=\frac{1}{\cos x}+C. \]

3. Бөлүктөп интегралдоо

Формула: \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\).

а) \(u=x\), \(dv=\cos 2x\,dx\), анда \(du=dx\), \(v=\frac{1}{2}\sin 2x\): \[ \int x\cos 2x\,dx=\frac{x}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\int\sin 2x\,dx=\frac{x}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}\cos 2x+C. \]

б) \(u=\arcsin x\), \(dv=dx\), анда \(du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\), \(v=x\): \[ \int\arcsin x\,dx=x\arcsin x-\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}}. \] Акыркы интегралда \(t=1-x^{2}\), \(dt=-2x\,dx\), ошондуктан \(-\int\frac{x\,dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sqrt{1-x^{2}}\). Демек \[ \int\arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}+C. \]

4. Аныкталган интеграл (Ньютон–Лейбниц)

\[ \int_{1}^{2}\left(2x-\frac{1}{x^{2}}\right)dx=\left[x^{2}+\frac{1}{x}\right]_{1}^{2}=\left(4+\frac{1}{2}\right)-(1+1)=\frac{5}{2}. \]

5. Фигуранын аянты

Кесилишүү чекиттери: \(x^{2}+2=4-x\), башкача айтканда \(x^{2}+x-2=0\), мындан \(x=-2\) жана \(x=1\). \([-2;1]\) аралыгында \(4-x\ge x^{2}+2\) (мисалы, \(x=0\): \(4>2\)), ошондуктан \[ S=\int_{-2}^{1}\left((4-x)-(x^{2}+2)\right)dx=\int_{-2}^{1}(2-x-x^{2})dx. \] \[ S=\left[2x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{1}=\frac{7}{6}-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{7}{6}+\frac{20}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}. \]

Текшерүү

• 1а: \(\left(\frac{x^{4}}{4}-2\operatorname{arctg}x\right)'=x^{3}-\frac{2}{x^{2}+1}\) — баштапкы функцияга дал келет.
• 2б: \(\left(\frac{1}{\cos x}\right)'=\frac{\operatorname{tg}x}{\cos x}\).
• 3б: \(\left(x\arcsin x+\sqrt{1-x^{2}}\right)'=\arcsin x\).
• 4–5: жооптор оң, аянт \(4{,}5\) — графиктердин ортосундагы чектүү аймакка туура келет.