Найдите значение выражения
Сверь числа и знаки с фото.
I вариант
- Найдите значение выражения \(3\sin\left(2\alpha-\frac{\pi}{4}\right)+2\cos(3\alpha-\pi)\), если \(\alpha=\frac{\pi}{4}\)
Краткий ответ: \(\frac{5\sqrt2}{2}\).
Подставляем \(\alpha=\frac{\pi}{4}\) и вычисляем аргументы: \[ 2\alpha-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4}, \] \[ 3\alpha-\pi =\frac{3\pi}{4}-\pi =-\frac{\pi}{4}. \]
Используем табличные значения: \[ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Тогда: \[ 3\sin\frac{\pi}{4}+2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) =3\cdot\frac{\sqrt2}{2}+2\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{3\sqrt2}{2}+\sqrt2 =\frac{5\sqrt2}{2}. \]
Проверка: \(\frac{3\sqrt2}{2}+\frac{2\sqrt2}{2}=\frac{5\sqrt2}{2}\).
Главный принцип: сначала подставляем значение \(\alpha\) и считаем углы, затем применяем табличные значения синуса и косинуса. Для косинуса полезно помнить: \(\cos(-x)=\cos x\).
Обсуждение
5 сообщенийМожно не писать аргументы
Ответ: \(\frac{5\sqrt2}{2}\).
Без расписывания углов — сразу подставляем значения:
\[ 3\sin\frac{\pi}{4}+2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) =3\cdot\frac{\sqrt2}{2}+2\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{3\sqrt2}{2}+\sqrt2 =\frac{5\sqrt2}{2}. \]
Ключевое здесь: \(\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\), а \(\cos(-x)=\cos x\).
Второе задание Постройте график функции y=0,5cos x-1
Постройте график функции y=0,5cos x-1
Краткий ответ
График \(y=0{,}5\cos x-1\) — обычная косинусоида, сжатая в 2 раза по вертикали и сдвинутая на 1 вниз. Получается волна, целиком лежащая ниже оси \(Ox\):
\[ D(y)=\mathbb{R},\qquad E(y)=[-1{,}5;\,-0{,}5],\qquad T=2\pi . \]
Как строить (по шагам)
- Берём \(y=\cos x\) — амплитуда 1, значения от \(-1\) до \(1\).
- Умножаем на \(0{,}5\): \(y=0{,}5\cos x\) — та же волна, но «приплюснутая»: значения от \(-0{,}5\) до \(0{,}5\).
- Вычитаем 1: сдвигаем весь график на 1 единицу вниз. Значения становятся от \(-1{,}5\) до \(-0{,}5\).
Таблица значений (одна волна)
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\frac{2\pi}{3}\) | \(\frac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(0{,}87\) | \(0{,}5\) | \(0\) | \(-0{,}5\) | \(-0{,}87\) | \(-1\) |
| \(y\) | \(-0{,}5\) | \(-0{,}57\) | \(-0{,}75\) | \(-1\) | \(-1{,}25\) | \(-1{,}43\) | \(-1{,}5\) |
Дальше всё симметрично: при \(x=\frac{7\pi}{6},\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{3},\frac{11\pi}{6},2\pi\) значения те же, что при \(\frac{5\pi}{6},\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6},0\).
Эскиз
y
−0,5 ─● ●── максимум y = −0,5
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
−1,0 ─│ ● ● y = −1 при x = π/2, 3π/2
│ ╲ ╱
│ ╲ ╱
−1,5 ─│ ●───────────────────● ... минимум y = −1,5 при x = π
0 π/2 π 3π/2 2π x
(Минимум в точке \(x=\pi\) один, дальше волна повторяется через \(2\pi\).)
Главные точки
- Максимумы \(y=-0{,}5\): \(x=2\pi k\);
- Минимумы \(y=-1{,}5\): \(x=\pi+2\pi k\);
- Точек пересечения с \(Ox\) нет: из \(0{,}5\cos x-1=0\) следует \(\cos x=2\), а это невозможно, поэтому \(y<0\) при всех \(x\);
- Убывает на \([0;\pi]+2\pi k\), возрастает на \([\pi;2\pi]+2\pi k\);
- Функция чётная, график симметричен относительно оси \(Oy\).
Принцип: коэффициент перед косинусом меняет амплитуду (размах по вертикали), а число, прибавленное к функции, сдвигает график вверх-вниз. Сдвиг по \(x\) был бы, если бы число стояло внутри косинуса.
