Реши 169 номер
Сверь числа и знаки с фото.
- а) \(3\sin^2 x+\sin x\cos x=2\cos^2 x\); б) \(2\cos^2 x-3\sin x\cos x+\sin^2 x=0\); в) \(9\sin x\cos x-7\cos^2 x=2\sin^2 x\); г) \(2\sin^2 x-\sin x\cos x=\cos^2 x\).
Краткий ответ
- Во всех пунктах \(k\in\mathbb Z\):
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad x=\mathrm{arctg}\frac{2}{3}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k;\\ \text{б)}&\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\mathrm{arctg}\,2+\pi k;\\ \text{в)}&\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\mathrm{arctg}\frac{7}{2}+\pi k;\\ \text{г)}&\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi k. \end{aligned} \]
Как решать
Это однородные уравнения второй степени: в них есть только \(\sin^2x\), \(\sin x\cos x\) и \(\cos^2x\). Сначала проверяем случай \(\cos x=0\). Если \(\cos x=0\), то \(\sin^2x=1\), и ни одно уравнение из №169 не выполняется. Значит, \(\cos x\ne0\), и можно делить на \(\cos^2x\).
Обозначим \(t=\mathrm{tg}x\). Тогда \[ \frac{\sin^2x}{\cos^2x}=t^2,\qquad \frac{\sin x\cos x}{\cos^2x}=t. \]
Получаются квадратные уравнения:
\[ \begin{aligned} \text{а)}&\quad 3t^2+t-2=0 &&\Rightarrow t=\frac23,\,-1;\\ \text{б)}&\quad t^2-3t+2=0 &&\Rightarrow t=1,\,2;\\ \text{в)}&\quad 2t^2-9t+7=0 &&\Rightarrow t=1,\,\frac72;\\ \text{г)}&\quad 2t^2-t-1=0 &&\Rightarrow t=1,\,-\frac12. \end{aligned} \]
Остаётся вернуться к \(x\) по формуле \[ \mathrm{tg}x=t_0 \quad\Rightarrow\quad x=\mathrm{arctg}\,t_0+\pi k. \]
Проверка корней квадратных уравнений подтверждает найденные серии решений; решения с \(\cos x=0\) были проверены отдельно и не подходят.
Обсуждение
2 сообщенияОтвет сразу напиши без объяснений номер 169
\[ \begin{aligned} \text{а)}\;&x=\operatorname{arctg}\frac{2}{3}+\pi k,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi k;\\[2pt] \text{б)}\;&x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\operatorname{arctg}2+\pi k;\\[2pt] \text{в)}\;&x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=\operatorname{arctg}\frac{7}{2}+\pi k;\\[2pt] \text{г)}\;&x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad x=-\operatorname{arctg}\frac{1}{2}+\pi k. \end{aligned} \]
\(k\in\mathbb Z\).
