1. Функция имеет ... является функция ... имеет ли она наибольшее значение? а) y = x² + 1

Понял, бывает. Здесь основная тема — учёба, так что пообщаться с людьми можно в комьюнити Новой Школы: Telegram — Telegram, ВКонтакте — ВКонтакте

А если понадобится помощь с заданием — я рядом.

Түшүндүм, кыргызча жазсам болот. Бирок бул жердеги негизги тема — окуу тапшырмалары, ошондуктан жөнөкөй баарлашуу үчүн Жаңы Школанын комьюнитисине кошулуп көрүңүз: Telegram — Telegram, ВКонтакте — ВКонтакте

Ал эми математика боюнча жардам керек болсо, мен даярмын.

Сиз мурун жиберген сүрөттөгү тапшырмаларды мен биринчи жообумда эле чыгарганмын: №1 ( \(y=x^2+1\) — аныктоо жана маанилер областы, чектелгендиги), №2 (бөлчөктү кыскартуу — \(\frac{3(a-2)}{a+4}\)), №3 (\(-5<x<10\)), №4 (системанын жалпы чечими \((-1;2)\), бүтүн чечимдери \(0\) жана \(1\)).

Азыр жаңы сүрөт тиркелген жок. Суроом: ошол эле сүрөттөгү кайсы пунктту кайрадан, кененирээк түшүндүрүп берейин — же жаңы тапшырманын сүрөтүн кайра жибересизби?

Кыскача жооп

• №1 (\(y=x^{2}+1\)): \(D(y)=\mathbb{R}\), \(E(y)=[1;+\infty)\) — функция төмөн жагынан чектелген, жогору жагынан чектелген эмес; эң кичине мааниси \(y=1\) (\(x=0\) болгондо), эң чоң мааниси жок.
• №2: \(\dfrac{3a^{2}-12}{a^{2}+6a+8}=\dfrac{3(a-2)}{a+4}\), мында \(a\neq-2,\ a\neq-4\).
• №3 (көрүнгөн теңсиздик): \(x^{2}-5x-50<0 \iff -5<x<10\).
• №4: системанын жалпы чечими \((-1;\,2)\), бүтүн чечимдери: \(x=0\) жана \(x=1\).

Негизги кадамдар

№2. Бөлчөктү кыскартуу. Алым менен бөлүмдү көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз:

\[ 3a^{2}-12=3(a^{2}-4)=3(a-2)(a+2),\qquad a^{2}+6a+8=(a+2)(a+4) \]

(экинчисинде суммасы \(6\), көбөйтүндүсү \(8\) болгон сандарды издебиз — булар \(2\) жана \(4\)).

\[ \frac{3a^{2}-12}{a^{2}+6a+8}=\frac{3(a-2)(a+2)}{(a+2)(a+4)}=\frac{3(a-2)}{a+4},\quad a\neq-2,\ a\neq-4 \]

Бөлүмдөгү даража так көрүнбөйт, мен аны \(a^{2}\) деп окудум: так квадрат болгондо гана бөлчөк кыскарат.

№3. Квадраттык теңсиздик. Жалпы эреже: теңдеменин тамырларын табабыз, параболанын бутактарынын багытын карайбыз жана керектүү аралыкты алабыз.

\[ x^{2}-5x-50=0,\quad D=25+200=225=15^{2},\quad x_{1,2}=\frac{5\pm15}{2} \]

Тамырлар \(10\) жана \(-5\); \(x^{2}\) алдындагы коэффициент \(1>0\), бутактар жогору багытталган, белгиси «минус» — демек тамырлардын ортосундагы аралык:

\[ -5<x<10 \]

№4. Теңсиздиктер системасы — ар бирин өзүнчө чыгарып, анан кесилишүүсүн алабыз.

\[ x^{2}+x-6=0 \Rightarrow x_{1}=-3,\ x_{2}=2 \Rightarrow x\in(-3;\,2) \]

\[ -x^{2}+2x+3>0 \iff x^{2}-2x-3<0 \Rightarrow x_{1}=-1,\ x_{2}=3 \Rightarrow x\in(-1;\,3) \]

Кесилишүүсү: \((-1;\,2)\). Катуу ичиндеги бүтүн сандар: \(0\) жана \(1\).

№1. Чектелгендик. \(x^{2}\ge 0\) болгондуктан \(y=x^{2}+1\ge 1\): функция төмөн жагынан чектелген, ал эми жогору чексиз өсөт, ошондуктан эң чоң мааниси болбойт.

Текшерүү

• №2, \(a=0\) болгондо: сол жагы \(\frac{-12}{8}=-1{,}5\), оң жагы \(\frac{3\cdot(-2)}{4}=-1{,}5\). ✔
• №4, \(x=1\): \(1+1-6=-4<0\) ✔, \(-1+2+3=4>0\) ✔; \(x=2\) болгондо \(0<0\) — туура эмес, демек \(2\) кирбейт ✔.

Окулбаган жери: ак белгилер №1де шарттын бир бөлүгүн, №3тө функциянын өзүн жаап калган, ошондуктан №3 боюнча аныктоо областын айта албайм — ошол пункттардын тагыраак сүрөтү керек.

№1. \(y=x^{2}+1\) функциясы

• Аныктоо областы: \(x\) үчүн эч кандай чектөө жок, ошондуктан \[ D(y)=(-\infty;\,+\infty)=\mathbb{R} \]
• Маанилер областы: ар кандай \(x\) үчүн \(x^{2}\ge 0\), демек \(y=x^{2}+1\ge 1\). Ошондуктан \[ E(y)=[1;\,+\infty) \]
• Чектелгендиги: функция төмөн жагынан чектелген (эң төмөнкү чеги \(1\)), жогору жагынан чектелген эмес.
• Эң кичине жана эң чоң мааниси: \(y_{\min}=1\) (бул \(x=0\) болгондо), \(y_{\max}\) жок.

№2. Бөлчөктү кыскартуу

\[ \frac{3a^{2}-12}{a^{2}+6a+8} \]

Алымды көбөйтүүчүлөргө ажыратабыз: \[ 3a^{2}-12=3(a^{2}-4)=3(a-2)(a+2) \]

Бөлүмдү ажыратабыз (суммасы \(6\), көбөйтүндүсү \(8\) болгон сандар — \(2\) жана \(4\)): \[ a^{2}+6a+8=(a+2)(a+4) \]

Демек: \[ \frac{3a^{2}-12}{a^{2}+6a+8}=\frac{3(a-2)(a+2)}{(a+2)(a+4)}=\frac{3(a-2)}{a+4} \]

Жооп: \(\dfrac{3(a-2)}{a+4}\), мында \(a\neq-2\), \(a\neq-4\) (бөлүм нөлгө айланбашы үчүн).

№3. \(x^{2}-5x-50<0\) теңсиздиги

Дискриминант: \[ D=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot (-50)=25+200=225,\qquad \sqrt{D}=15 \]

Тамырлар: \[ x_{1,2}=\frac{5\pm 15}{2},\qquad x_{1}=10,\quad x_{2}=-5 \]

\(x^{2}\) алдындагы коэффициент \(1>0\), параболанын бутактары жогору багытталган. Теңсиздиктин белгиси \(<\) болгондуктан, параболанын нөлдөн төмөн бөлүгү тамырлардын ортосунда жатат: \[ x\in(-5;\,10) \]

№4. Теңсиздиктер системасы

\[ \begin{cases} x^{2}+x-6<0\\ -x^{2}+2x+3>0 \end{cases} \]

Биринчи теңсиздик. \(x^{2}+x-6=0\) теңдемесинин тамырлары: \[ x_{1}=-3,\qquad x_{2}=2 \quad\Rightarrow\quad x\in(-3;\,2) \]

Экинчи теңсиздик. Эки бөлүгүн тең \(-1\)ге көбөйтсөк, белгиси карама-каршыга өзгөрөт: \[ x^{2}-2x-3<0 \] Тамырлары: \[ x_{1}=-1,\qquad x_{2}=3 \quad\Rightarrow\quad x\in(-1;\,3) \]

Жалпы чечим — эки аралыктын кесилишүүсү: \[ (-3;\,2)\cap(-1;\,3)=(-1;\,2) \]

Демек системанын чечими: \(-1<x<2\).

Бүтүн чечимдер: бул аралыктын ичиндеги бүтүн сандар — \(x=0\) жана \(x=1\).

Текшерүү

• №2: \(a=0\) болгондо сол жагы \(\dfrac{3\cdot 0-12}{0+0+8}=\dfrac{-12}{8}=-1{,}5\), оң жагы \(\dfrac{3(0-2)}{0+4}=\dfrac{-6}{4}=-1{,}5\). Туура. ✔
• №3: \(x=0\) алабыз: \(0-0-50=-50<0\) — туура; \(x=10\): \(100-50-50=0\), теңсиздик катуу, демек \(10\) кирбейт. ✔
• №4: \(x=1\): \(1+1-6=-4<0\) ✔ жана \(-1+2+3=4>0\) ✔. \(x=2\) алабыз: \(4+2-6=0\), катуу теңсиздик аткарылбайт, демек \(2\) кирбейт. ✔

Эскертүү: сүрөттө №1дин шартынын бир бөлүгү жана №3түн өзү ак белгилер менен жабылган. Мен аларды окулган вариант боюнча жаздым: №1 — \(y=x^{2}+1\), №3 — \(x^{2}-5x-50<0\). Эгер башкача болсо, айтсаңыз, ошого жараша кайра чыгарам.