решения и ответ

Кратко

1. \(F(x)=x^{4}+\dfrac{3}{2}x^{2}+C\)
2. \(S=\dfrac{15}{4}=3{,}75\)

1. Найти \(F(x)\) для \(f(x)=4x^{3}+3x\)

Одно слово в строке читается неуверенно, но запись \(F(x)=\) показывает: нужна первообразная — функция, производная которой равна \(f(x)\). Это действие, обратное дифференцированию.

Рабочие правила:

• \(\displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\);
• постоянный множитель выносится за знак интеграла;
• интеграл суммы равен сумме интегралов.

\[ F(x)=\int (4x^{3}+3x)\,dx=4\cdot\frac{x^{4}}{4}+3\cdot\frac{x^{2}}{2}+C=x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}+C \]

Почему нужен \(C\): производная любого числа равна нулю, поэтому первообразных бесконечно много — они отличаются только постоянной.

Проверка: \[ F'(x)=4x^{3}+3x=f(x) \] Совпало, значит первообразная найдена верно. Если в условии дополнительно задано значение \(F\) в точке (например, \(F(1)=0\)), то его подставляют в найденную формулу и так находят \(C\).

2. Площадь фигуры \(y=x^{3}\), \(y=0\), \(x=1\), \(x=2\)

На отрезке \([1;2]\) значения \(x^{3}\) положительны, поэтому фигура стоит над осью \(Ox\) и её площадь считается по формуле Ньютона–Лейбница: \[ S=\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a) \]

\[ S=\int_{1}^{2}x^{3}\,dx=\left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{1}^{2}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}=3{,}75 \]

Проверка: первообразная \(\frac{x^{4}}{4}\) верна, так как \(\left(\frac{x^{4}}{4}\right)'=x^{3}\); затем взяты значения на правом и левом концах отрезка и вычтены. Результат \(3{,}75\) меньше площади прямоугольника \(1\times 8=8\), что правдоподобно.

Принцип на будущее: для первообразной «поднимай» степень на единицу и дели на новую степень; для площади сначала найди первообразную, потом вычисли разность её значений на границах отрезка.