Второе задание Постройте график функции y=0,5cos x-1

Краткий ответ

График функции
\[ y=0{,}5\cos x-1 \] — это обычная косинусоида \(y=\cos x\), сжатая по вертикали в 2 раза и сдвинутая вниз на 1.

Её свойства:

• средняя линия: \(y=-1\);
• амплитуда: \(0{,}5\);
• максимум: \(y=-0{,}5\);
• минимум: \(y=-1{,}5\);
• период: \(2\pi\);
• область значений: \([-1{,}5;\,-0{,}5]\);
• график лежит ниже оси \(Ox\), поэтому нулей у функции нет.

Как построить

Сначала считаем значения в ключевых точках:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} & 2\pi\\ \hline \cos x & 1 & 0 & -1 & 0 & 1\\ 0{,}5\cos x & 0{,}5 & 0 & -0{,}5 & 0 & 0{,}5\\ y=0{,}5\cos x-1 & -0{,}5 & -1 & -1{,}5 & -1 & -0{,}5 \end{array} \]

Теперь отмечаем точки на координатной плоскости:

\[ (0;\,-0{,}5),\quad \left(\frac{\pi}{2};\,-1\right),\quad (\pi;\,-1{,}5),\quad \left(\frac{3\pi}{2};\,-1\right),\quad (2\pi;\,-0{,}5). \]

Соединяем их плавной волной: от \(x=0\) до \(x=\pi\) график опускается вниз, затем от \(x=\pi\) до \(x=2\pi\) поднимается вверх. Полученную волну повторяем влево и вправо через \(2\pi\).

Проверка

Нули функции ищем так: \[ 0{,}5\cos x-1=0 \] \[ 0{,}5\cos x=1 \] \[ \cos x=2. \] Таких \(x\) нет, значит, график действительно не пересекает ось \(Ox\). Максимум \(-0{,}5\) достигается при \(x=2\pi k\), минимум \(-1{,}5\) — при \(x=\pi+2\pi k\).