Вариант 1 1. Решите уравнение: a) x³ - 81x = 0; б) 3(x - 1,5) + 2x = 5(2,5 + 2x).

Краткие ответы

1. а) \(x=0;\ x=\pm 9\); б) \(x=-3{,}4\)
2. а) \(x=-3;\ 3;\ 4\); б) \(x=\pm 1\)
3. а) \(x=\pm 1;\ \pm 3\); б) \(x=\pm\sqrt{3}\)
4. Знаменатель второй дроби на фото не читается — пришли, пожалуйста, чёткий снимок только этого пункта.

---

1. Решите уравнение

а) \(x^{3}-81x=0\)

Выносим общий множитель \(x\), затем раскладываем разность квадратов:

\[x\left(x^{2}-81\right)=0 \Rightarrow x(x-9)(x+9)=0\]

Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель:

\[x=0,\quad x=9,\quad x=-9\]

Проверка: \(9^3-81\cdot 9=729-729=0\). ✔

б) \(3(x-1{,}5)+2x=5(2{,}5+2x)\)

Раскрываем скобки и приводим подобные:

\[3x-4{,}5+2x=12{,}5+10x\] \[5x-4{,}5=12{,}5+10x\] \[-5x=17\] \[x=-3{,}4\]

Проверка: слева \(3(-4{,}9)-6{,}8=-21{,}5\), справа \(5(2{,}5-6{,}8)=-21{,}5\). ✔

2. Решите уравнение (способ группировки)

а) \(x^{3}-4x^{2}-9x+36=0\)

Группируем попарно так, чтобы появилась общая скобка:

\[x^{2}(x-4)-9(x-4)=0\] \[(x-4)\left(x^{2}-9\right)=0\] \[(x-4)(x-3)(x+3)=0\]

\[x=4,\quad x=3,\quad x=-3\]

б) \(x^{6}+4x^{4}-x^{2}-4=0\)

\[x^{4}\left(x^{2}+4\right)-\left(x^{2}+4\right)=0\] \[\left(x^{2}+4\right)\left(x^{4}-1\right)=0\] \[\left(x^{2}+4\right)(x-1)(x+1)\left(x^{2}+1\right)=0\]

Так как \(x^{2}+4>0\) и \(x^{2}+1>0\) ни при каком \(x\), остаётся \(x=\pm 1\).

Принцип: в уравнениях степени выше второй почти всегда работает группировка — её подбирают так, чтобы в обеих группах получилась одинаковая скобка.

3. Биквадратные уравнения (замена \(t=x^{2}\ge 0\))

а) \(x^{4}-10x^{2}+9=0\)

Пусть \(t=x^{2}\), \(t\ge 0\):

\[t^{2}-10t+9=0 \Rightarrow t=1,\ t=9\]

Оба корня неотрицательны, возвращаемся:

\[x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1;\qquad x^{2}=9 \Rightarrow x=\pm 3\]

б) \(x^{4}+6x^{2}-27=0\)

\[t^{2}+6t-27=0 \Rightarrow t=3,\ t=-9\]

Корень \(t=-9\) отбрасываем: квадрат не может быть отрицательным. Остаётся

\[x^{2}=3 \Rightarrow x=\pm\sqrt{3}\]

Проверка: \((\sqrt{3})^{4}+6(\sqrt{3})^{2}-27=9+18-27=0\). ✔

4. Дробное рациональное уравнение

Знаменатель второй дроби на фото сливается (похоже на «30», но это может быть и выражение с \(x\)), поэтому решать наугад не буду. Общий порядок действий для таких заданий:

1. Найти ОДЗ: все знаменатели не равны нулю.
2. Умножить обе части на общий знаменатель.
3. Решить получившееся целое уравнение.
4. Отбросить корни, попавшие в запрещённые значения.

Пришли более чёткий фрагмент пункта 4 — решу его по шагам.