К–2 Вариант 1 № 1. Найдите область определения функции: а) y = 2x³ − 5x + 4; б) y = 1/(4x² − 3x − 1); в) y = √(3x − 2).

Ниже — решения всех номеров варианта.

Краткие ответы

№ 1. а) \(D(y)=(-\infty;+\infty)\);

б) \(D(y)=\left(-\infty;-\frac14\right)\cup\left(-\frac14;1\right)\cup(1;+\infty)\);

в) \(D(y)=\left[\frac23;+\infty\right)\).

№ 2. а) чётная; б) нечётная; в) ни чётная, ни нечётная.

№ 3. График — парабола с ветвями вверх, вершина \((2{,}5;-0{,}25)\), нули \(x=2\) и \(x=3\).

а) \(y=0{,}75\);

б) \(x\approx0{,}2\) и \(x\approx4{,}8\); точные значения \(x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}\);

в) нули: \(2\) и \(3\); \(y>0\) при \(x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)\), \(y<0\) при \(x\in(2;3)\);

г) возрастает на \([2{,}5;+\infty)\);

д) \(E(y)=[-0{,}25;+\infty)\).

№ 4. \(a=7\).

Как это получить

№ 1. Область определения

а) \(y=2x^3-5x+4\) — многочлен, он определён при любых \(x\).

б) Нельзя делить на нуль, поэтому \[ 4x^2-3x-1\ne0. \] Решаем уравнение: \[ \Delta=(-3)^2-4\cdot4\cdot(-1)=9+16=25, \] \[ x_{1,2}=\frac{3\pm5}{8}. \] Значит, \(x=1\) и \(x=-\frac14\). Их нужно исключить.

в) Под квадратным корнем выражение должно быть неотрицательным: \[ 3x-2\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\ge\frac23. \]

№ 2. Чётность функции

Функция чётная, если \(f(-x)=f(x)\), и нечётная, если \(f(-x)=-f(x)\).

а) \[ f(-x)=4(-x)^2-3=4x^2-3=f(x), \] поэтому функция чётная.

б) \[ f(-x)=-\frac{3}{-x}=\frac3x=-f(x), \] поэтому функция нечётная.

в) У функции \(f(x)=\sqrt{x}+2\) область определения \(x\ge0\). Она не симметрична относительно нуля, поэтому функцию нельзя считать ни чётной, ни нечётной.

№ 3. Парабола \(y=x^2-5x+6\)

Ветви направлены вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен.

Вершина: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-5}{2}=2{,}5, \] \[ y_0=2{,}5^2-5\cdot2{,}5+6=6{,}25-12{,}5+6=-0{,}25. \]

Нули функции: \[ x^2-5x+6=0, \] по теореме Виета \(x=2\) и \(x=3\).

Для построения графика можно взять точки: \[ (0;6),\ (1;2),\ (2;0),\ (2{,}5;-0{,}25),\ (3;0),\ (4;2),\ (5;6). \]

а) При \(x=1{,}5\): \[ y=1{,}5^2-5\cdot1{,}5+6=2{,}25-7{,}5+6=0{,}75. \]

б) При \(y=5\): \[ x^2-5x+6=5 \quad\Rightarrow\quad x^2-5x+1=0, \] \[ x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}\approx0{,}21;\ 4{,}79. \] По графику это примерно \(0{,}2\) и \(4{,}8\).

в) \[ y=(x-2)(x-3). \] Нули: \(x=2\), \(x=3\).
Функция положительна при \(x<2\) или \(x>3\), отрицательна при \(2<x<3\).

г) Вершина находится в точке \(x=2{,}5\), ветви идут вверх, значит, функция возрастает при \(x\ge2{,}5\).

д) Наименьшее значение функции равно \(-0{,}25\), поэтому множество значений: \[ [-0{,}25;+\infty). \]

№ 4. Параметр \(a\)

Выделим полный квадрат: \[ y=x^2-8x+a=(x-4)^2-16+a. \] Наименьшее значение достигается при \(x=4\) и равно \(a-16\). По условию: \[ a-16=-9, \] \[ a=7. \]

Проверка: при \(a=7\) \[ y=x^2-8x+7=(x-4)^2-9, \] наименьшее значение действительно равно \(-9\).