Окружность проходит через вершину Б треугольника АБС, касается его стороны АС в точке Е и пересекает стороны АБ и БС в точках М и К. Оказалось, что отрезок МК параллелен стороне…

Краткий ответ: да, \(BE\) — биссектриса угла \(ABC\), то есть
\[ \angle ABE=\angle EBC. \]

Доказательство.

Пусть \(O\) — центр окружности.

1. \(AC\) — касательная к окружности в точке \(E\), поэтому радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: \[ OE\perp AC. \]

2. По условию \(MK\parallel AC\). Значит, \[ OE\perp MK. \]

3. Прямая \(OE\) проходит через центр окружности и перпендикулярна хорде \(MK\). В окружности диаметр, перпендикулярный хорде, делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Поэтому точка \(E\) является серединой дуги \(MK\), не содержащей \(B\), и \[ \overset{\frown}{ME}=\overset{\frown}{EK}. \]

4. Вписанные углы \(\angle MBE\) и \(\angle EBK\) опираются на равные дуги \(ME\) и \(EK\). Следовательно, \[ \angle MBE=\angle EBK. \]

5. Точка \(M\) лежит на стороне \(AB\), значит луч \(BM\) совпадает с лучом \(BA\). Аналогично \(K\) лежит на \(BC\), значит луч \(BK\) совпадает с лучом \(BC\). Поэтому \[ \angle ABE=\angle MBE=\angle EBK=\angle EBC. \]

Итак, \[ \angle ABE=\angle EBC, \] а значит, \(BE\) делит угол \(ABC\) пополам. Следовательно, \(BE\) — биссектриса треугольника \(ABC\).

Главная идея: касательная даёт перпендикулярность радиуса \(OE\) к \(AC\), параллельность \(MK\parallel AC\) превращает \(E\) в середину дуги \(MK\), а равные дуги дают равные вписанные углы.