Контрольная работа № 3. Функции и их свойства
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа № 3. Функции и их свойства Вариант 1
- Дана функция \(y=-4x+1\). При каких значениях аргумента \(f(x)=0\), \(f(x)<0\), \(f(x)>0\)? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните.
- Найдите область определения функции:
- \(y=\sqrt{5x-2}\); 2) \(y=\frac{1}{2x^2-5x-3}\).
- Постройте график функции \(y=x^2+4x-5\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
- Каждый график соотнесите с соответствующей формулой [Рисунок: три графика в координатных плоскостях, обозначены А, Б, В: А — гипербола с ветвями во II и IV четвертях; Б — кривая, выходящая из начала координат вправо вверх; В — кривая, проходящая через начало координат, убывающая слева и возрастающая справа.] Формулы: 1) \(y=|x|\); 2) \(y=x^3\); 3) \(y=-\frac{1}{x}\); 4) \(y=\sqrt{x}\); 5) \(y=x^2\); 6) \(y=\frac{1}{x}\). Ответ: таблица с ячейками А, Б, В.
- (Дополнительное задание). При каком значении p прямая \(y=-2x+p\) имеет с параболой \(y=x^2+2x\) ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Контрольная работа № 3. Функции и их свойства Вариант 2
- Дана функция \(y=6x-7\). При каких значениях аргумента \(f(x)=0\), \(f(x)<0\), \(f(x)>0\)? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните.
- Найдите область определения функции:
- \(y=\sqrt{3-8x}\); 2) \(y=\frac{3}{6x^2-5x+1}\).
- Постройте график функции \(y=-x^2-4x+5\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
- Каждый график соотнесите с соответствующей формулой [Рисунок: три графика в координатных плоскостях, обозначены А, Б, В: А — парабола ветвями вниз; Б — график в виде угла с вершиной в начале координат; В — гипербола.] Формулы: 1) \(y=-\frac{1}{x}\); 2) \(y=x^2\); 3) \(y=|x|\); 4) \(y=\sqrt{x}\); 5) \(y=-x^2\); 6) \(y=x^3\). Ответ: таблица с ячейками А, Б, В.
- (Дополнительное задание). Найдите все значения k, при каждом из которых прямая \(y=kx\) имеет с графиком функции \(y=x^2+4\) ровно одну общую точку. Найдите координаты этих точек.
На фото два варианта. Ниже я разобрал оба: сначала ответ, затем ключевую идею решения.
Вариант 1
1. Функция \(y=-4x+1\)
- \(f(x)=0\): \(x=\frac14\);
- \(f(x)>0\): \(x<\frac14\);
- \(f(x)<0\): \(x>\frac14\).
Функция убывает, потому что угловой коэффициент \(k=-4<0\): с ростом \(x\) значение \(y\) уменьшается.
2. Область определения
- \(y=\sqrt{5x-2}\):
\[ 5x-2\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac25. \]
Ответ: \(\left[\frac25;+\infty\right)\).
- \(y=\frac{1}{2x^2-5x-3}\):
\[ 2x^2-5x-3\ne 0. \]
\[ 2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3), \]
поэтому \(x\ne -\frac12\), \(x\ne 3\).
Ответ:
\[ (-\infty;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;3)\cup(3;+\infty). \]
3. График \(y=x^2+4x-5\)
Выделим квадрат:
\[ y=x^2+4x-5=(x+2)^2-9. \]
Это парабола, ветви вверх, вершина \((-2;-9)\).
Нули: \(x=-5\) и \(x=1\).
Для построения можно взять точки:
| \(x\) | -5 | -4 | -2 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 0 | -5 | -9 | -5 | 0 |
а) Область определения: все \(x\); область значений: \([-9;+\infty)\).
б) Нули функции: \(x=-5\), \(x=1\).
в) \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\);
\(y<0\) при \(x\in(-5;1)\).
г) Убывает при \(x\in(-\infty;-2]\); возрастает при \(x\in[-2;+\infty)\).
д) Наименьшее значение \(-9\) при \(x=-2\); наибольшего значения нет.
4. Сопоставление графиков
A — гипербола с ветвями во II и IV четвертях, это \(y=-\frac1x\), формула 3.
Б — график \(y=\sqrt{x}\), формула 4.
В — кубическая парабола \(y=x^3\), формула 2.
| А | Б | В | |
|---|---|---|---|
| Формула | 3 | 4 | 2 |
5. Прямая и парабола
Приравняем:
\[ x^2+2x=-2x+p, \]
\[ x^2+4x-p=0. \]
Ровно одна общая точка означает один корень:
\[ D=16+4p=0 \Rightarrow p=-4. \]
Тогда
\[ x=-\frac42=-2, \]
\[ y=(-2)^2+2(-2)=0. \]
Ответ: \(p=-4\), точка \((-2;0)\).
Вариант 2
1. Функция \(y=6x-7\)
- \(f(x)=0\): \(x=\frac76\);
- \(f(x)<0\): \(x<\frac76\);
- \(f(x)>0\): \(x>\frac76\).
Функция возрастает, так как \(k=6>0\).
2. Область определения
- \(y=\sqrt{3-8x}\):
\[ 3-8x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac38. \]
Ответ: \(\left(-\infty;\frac38\right]\).
- \(y=\frac{3}{6x^2-5x+1}\):
\[ 6x^2-5x+1\ne 0, \]
\[ 6x^2-5x+1=(3x-1)(2x-1). \]
Значит, \(x\ne \frac13\), \(x\ne \frac12\).
Ответ:
\[ (-\infty;\tfrac13)\cup(\tfrac13;\tfrac12)\cup(\tfrac12;+\infty). \]
3. График \(y=-x^2-4x+5\)
\[ y=-x^2-4x+5=-(x+2)^2+9. \]
Парабола, ветви вниз, вершина \((-2;9)\).
Нули: \(x=-5\) и \(x=1\).
Точки для построения:
| \(x\) | -5 | -4 | -2 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 0 | 5 | 9 | 5 | 0 |
а) Область определения: все \(x\); область значений: \((-\infty;9]\).
б) Нули функции: \(x=-5\), \(x=1\).
в) \(y>0\) при \(x\in(-5;1)\);
\(y<0\) при \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\).
г) Возрастает при \(x\in(-\infty;-2]\); убывает при \(x\in[-2;+\infty)\).
д) Наибольшее значение \(9\) при \(x=-2\); наименьшего значения нет.
4. Сопоставление графиков
A — парабола ветвями вниз, это \(y=-x^2\), формула 5.
Б — график модуля \(y=|x|\), формула 3.
В — гипербола \(y=-\frac1x\), формула 1.
| А | Б | В | |
|---|---|---|---|
| Формула | 5 | 3 | 1 |
5. Прямая \(y=kx\) и парабола \(y=x^2+4\)
\[ x^2+4=kx, \]
\[ x^2-kx+4=0. \]
Одна общая точка — один корень:
\[ D=k^2-16=0, \]
\[ k=\pm 4. \]
При \(k=4\):
\[ x=2,\quad y=8 \Rightarrow (2;8). \]
При \(k=-4\):
\[ x=-2,\quad y=8 \Rightarrow (-2;8). \]
Ответ: \(k=\pm4\); точки \((2;8)\) и \((-2;8)\).
