2вариант реши
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа № 3. Функции и их свойства Вариант 2
- Дана функция \(y=6x-7\). При каких значениях аргумента \(f(x)=0\), \(f(x)<0\), \(f(x)>0\)? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните.
- Найдите область определения функции:
- \(y=\sqrt{3-8x}\); 2) \(y=\frac{3}{6x^2-5x+1}\).
- Постройте график функции \(y=-x^2-4x+5\). С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
- Каждый график соотнесите с соответствующей формулой Графики: А) [Рисунок: в координатной сетке парабола, ветви направлены вниз] Б) [Рисунок: две прямые, образующие угол, вершина в начале координат] В) [Рисунок: две ветви гиперболы] Формулы:
- \(y=-\frac{1}{x}\); 2) \(y=x^2\); 3) \(y=|x|\); 4) \(y=\sqrt{x}\); 5) \(y=-x^2\); 6) \(y=x^3\). Ответ: А ___; Б ___; В ___.
- (Дополнительное задание). Найдите все значения k, при каждом из которых прямая \(y=kx\) имеет с графиком функции \(y=x^2+4\) ровно одну общую точку. Найдите координаты этих точек.
Кратко
- \(f(x)=0\) при \(x=\frac{7}{6}\); \(f(x)<0\) при \(x<\frac{7}{6}\); \(f(x)>0\) при \(x>\frac{7}{6}\). Функция возрастает.
- \(D(y)=\left(-\infty;\frac{3}{8}\right]\);
- \(D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right\}\).
- График — парабола с вершиной \((-2;9)\), ветви вниз; нули \(x=-5\) и \(x=1\);
\(y>0\) на \((-5;1)\), \(y<0\) на \((-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\);
возрастает на \((-\infty;-2]\), убывает на \([-2;+\infty)\);
\(y_{\max}=9\), наименьшего значения нет;
\(D(y)=\mathbb R\), \(E(y)=(-\infty;9]\). - А—5, Б—3, В—1.
- \(k=\pm4\); точки \((-2;-8)\) и \((2;8)\).
1. Линейная функция \(y=6x-7\)
Решаем уравнения и неравенства:
\(f(x)=0\): \[ 6x-7=0 \Rightarrow x=\frac{7}{6}. \]
\(f(x)<0\): \[ 6x-7<0 \Rightarrow x<\frac{7}{6}. \]
\(f(x)>0\): \[ 6x-7>0 \Rightarrow x>\frac{7}{6}. \]
Угловой коэффициент \(k=6>0\), поэтому функция возрастает на всей области определения.
Если \(x_1<x_2\), то \(6x_1-7<6x_2-7\), значит \(f(x_1)<f(x_2)\).
2. Область определения
1) \(y=\sqrt{3-8x}\). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 3-8x\ge0 \Rightarrow x\le\frac{3}{8}. \] \[ D(y)=\left(-\infty;\frac{3}{8}\right]. \]
2) \(y=\dfrac{3}{6x^2-5x+1}\). Знаменатель не равен нулю: \[ 6x^2-5x+1\ne0. \] Разложим: \[ 6x^2-5x+1=(3x-1)(2x-1). \] Значит, \[ x\ne\frac{1}{3},\qquad x\ne\frac{1}{2}. \] \[ D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{1}{3};\frac{1}{2}\right\}. \]
3. Функция \(y=-x^2-4x+5\)
Вершина параболы: \[ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot(-1)}=-2, \] \[ y_0=-(-2)^2-4\cdot(-2)+5=9. \] Вершина: \((-2;9)\), ветви направлены вниз.
Нули функции: \[ -x^2-4x+5=0 \Rightarrow x^2+4x-5=0, \] \[ x_1=-5,\qquad x_2=1. \]
Точки для построения графика:
| \(x\) | \(-6\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-7\) | \(0\) | \(5\) | \(8\) | \(9\) | \(8\) | \(5\) | \(0\) | \(-7\) |
По графику:
а) область определения \(D(y)=\mathbb R\); область значений \(E(y)=(-\infty;9]\);
б) нули функции: \(x=-5\) и \(x=1\);
в) \(y>0\) при \(x\in(-5;1)\);
\(y<0\) при \(x\in(-\infty;-5)\cup(1;+\infty)\);
г) функция возрастает на \((-\infty;-2]\), убывает на \([-2;+\infty)\);
д) наибольшее значение \(y_{\max}=9\) при \(x=-2\); наименьшего значения нет.
4. Соответствие графиков и формул
- А — парабола ветвями вниз, значит \(y=-x^2\) — формула 5;
- Б — график модуля \(y=|x|\) — формула 3;
- В — гипербола \(y=-\frac{1}{x}\) — формула 1.
Ответ: А—5, Б—3, В—1.
5. Дополнительное задание
Прямая \(y=kx\) и парабола \(y=x^2+4\) имеют общую точку, если \[ x^2+4=kx, \] то есть \[ x^2-kx+4=0. \] Ровно одна общая точка будет тогда, когда квадратное уравнение имеет ровно один корень: \[ D=0. \] \[ D=k^2-4\cdot1\cdot4=k^2-16. \] \[ k^2-16=0 \Rightarrow k=\pm4. \]
При \(k=4\): \[ x^2-4x+4=(x-2)^2=0 \Rightarrow x=2,\quad y=8. \]
При \(k=-4\): \[ x^2+4x+4=(x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2,\quad y=-8. \]
Ответ: \(k=-4\) и \(k=4\); точки \((-2;-8)\) и \((2;8)\).
