Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Ключевые шаги

1. Определи тип уравнения. Это приведённое квадратное уравнение: коэффициент при \(x^{2}\) равен 1, то есть \(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

2. Воспользуйся теоремой Виета. Для уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). У нас \(p=-5,\ q=6\), значит:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

3. Подбери два числа. Нужны два числа с суммой 5 и произведением 6 — это 2 и 3. (Полезная привычка: сначала смотри на произведение — варианты для 6: \(1\cdot6\), \(2\cdot3\); сумма 5 даёт только пара 2 и 3.)

4. Запиши разложение на множители.

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\), отсюда \(x=2\) или \(x=3\).

Проверка

• \(x=2:\ 4-10+6=0\) ✓
• \(x=3:\ 9-15+6=0\) ✓

Другой способ (если корни не целые): дискриминант

\[ D=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1,\qquad x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}, \]

то есть \(x=3\) и \(x=2\) — тот же результат. Дискриминант — универсальный инструмент, а Виета — быстрый, когда корни целые.

Принцип для похожих заданий: при \(a=1\) ищи два числа, дающие в сумме \(-b\), а в произведении \(c\); тогда уравнение сворачивается в \((x-x_{1})(x-x_{2})=0\). Следи за знаками: если произведение положительно, а сумма отрицательна, оба корня отрицательные.