В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД. на продолжении стороны АС за точку А выбрана точка Е так, что треугольник ВЕД равнобедренный. Докажите, что прямая ЕВ касается…

Кратко: достаточно доказать, что
\[ \angle EBA=\angle BCA. \] Тогда по признаку касательной прямая \(EB\) будет касательной к описанной окружности треугольника \(ABC\).

В этой задаче равнобедренность \(\triangle BED\) понимается как \(BE=ED\), то есть \(BD\) — основание. Если имелось в виду другое равенство сторон, условие надо уточнить: при произвольном треугольнике \(ABC\) утверждение тогда неверно.

Обозначим \[ \angle BAC=\alpha,\qquad \angle ABC=2\beta,\qquad \angle ACB=\gamma. \] Так как \(BD\) — биссектриса, то \[ \angle ABD=\angle DBC=\beta. \]

1. Найдём \(\angle BDE\)

Точки \(E,A,D,C\) лежат на одной прямой, причём порядок такой: \[ E-A-D-C. \] Поэтому лучи \(DE\) и \(DA\) совпадают, значит \[ \angle BDE=\angle BDA. \] В треугольнике \(ABD\) \[ \angle BDA=180^\circ-\alpha-\beta. \] Следовательно, \[ \angle BDE=180^\circ-\alpha-\beta. \]

2. Используем равнобедренность \(BED\)

Так как \(BE=ED\), углы при основании \(BD\) равны: \[ \angle EBD=\angle BDE. \] Значит, \[ \angle EBD=180^\circ-\alpha-\beta. \]

3. Выразим \(\angle EBA\)

Луч \(BA\) лежит внутри угла \(EBD\), поэтому \[ \angle EBD=\angle EBA+\angle ABD. \] То есть \[ 180^\circ-\alpha-\beta=\angle EBA+\beta. \] Отсюда \[ \angle EBA=180^\circ-\alpha-2\beta. \]

4. Сравним с углом \(C\)

В треугольнике \(ABC\) \[ \alpha+2\beta+\gamma=180^\circ, \] поэтому \[ \gamma=180^\circ-\alpha-2\beta. \] Значит, \[ \angle EBA=\gamma=\angle BCA. \]

Получили: \[ \angle EBA=\angle BCA. \]

По теореме об угле между касательной и хордой: если прямая, проходящая через точку окружности, образует с хордой \(BA\) угол, равный вписанному углу \(\angle BCA\), опирающемуся на эту хорду, то эта прямая — касательная.

Следовательно, прямая \(EB\) касается описанной окружности треугольника \(ABC\).

Проверка обратного хода: если \(EB\) — касательная, то \(\angle EBA=\gamma\), значит \[ \angle EBD=\gamma+\beta=180^\circ-\alpha-\beta=\angle BDE, \] то есть \(BE=ED\). Это подтверждает, что нужная равнобедренность — именно \(BE=ED\).