1вариант

Вариант I

1. Решить уравнение

\[ (x^2-5x)^2-2(x^2-5x)-24=0 \]

Обозначим \(t=x^2-5x\). Тогда:

\[ t^2-2t-24=0 \]

\[ t_1=6,\qquad t_2=-4 \]

Возвращаемся к \(x\):

1. \(x^2-5x=6\)

\[ x^2-5x-6=0 \]

\[ x=-1;\quad x=6 \]

2. \(x^2-5x=-4\)

\[ x^2-5x+4=0 \]

\[ x=1;\quad x=4 \]

Ответ: \(\boxed{-1;\ 1;\ 4;\ 6}\).

---

2. Решить неравенство

\[ x^2+2x\le 3x \]

\[ x^2-x\le0 \]

\[ x(x-1)\le0 \]

Ответ: \(\boxed{x\in[0;1]}\).

---

3. Решить систему

\[ \begin{cases} x^2+y^2=26,\\ xy-5=0 \end{cases} \]

Из второго уравнения:

\[ xy=5 \]

Тогда:

\[ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=26+2\cdot5=36 \]

Значит,

\[ x+y=\pm6 \]

Получаем две пары чисел, сумма которых \(6\) или \(-6\), а произведение \(5\).

Для \(x+y=6,\ xy=5\):

\[ x=1,\ y=5 \quad \text{или} \quad x=5,\ y=1 \]

Для \(x+y=-6,\ xy=5\):

\[ x=-1,\ y=-5 \quad \text{или} \quad x=-5,\ y=-1 \]

Ответ:

\[ \boxed{(1;5),\ (5;1),\ (-1;-5),\ (-5;-1)} \]

---

4. Исследовать функцию и построить график

\[ y=4x-2x^2+6 \]

Перепишем:

\[ y=-2x^2+4x+6 \]

Выделим полный квадрат:

\[ y=-2(x^2-2x)+6=-2\bigl((x-1)^2-1\bigr)+6 \]

\[ y=-2(x-1)^2+8 \]

Значит, вершина параболы:

\[ (1;8) \]

Ветви направлены вниз, так как коэффициент при \(x^2\) равен \(-2<0\).

Найдём нули функции:

\[ -2x^2+4x+6=0 \]

\[ x^2-2x-3=0 \]

\[ x=-1,\quad x=3 \]

Точка пересечения с осью \(Oy\):

\[ y(0)=6 \]

Точки для графика:

\[ (-1;0),\ (0;6),\ (1;8),\ (3;0) \]

Свойства функции:

• область определения: \(\boxed{x\in\mathbb R}\);
• область значений: \(\boxed{y\le8}\), то есть \((-\infty;8]\);
• наибольшее значение \(\boxed{8}\) при \(x=1\);
• возрастает при \(\boxed{x\le1}\);
• убывает при \(\boxed{x\ge1}\);
• нули функции: \(\boxed{x=-1,\ x=3}\);
• \(y>0\) при \(\boxed{x\in(-1;3)}\);
• \(y<0\) при \(\boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)}\).

График — парабола с вершиной \((1;8)\), ветвями вниз, проходящая через точки \((-1;0)\), \((0;6)\), \((3;0)\).

---

5. Геометрическая прогрессия

По фото:

\[ b_1=8,\qquad b_7=12 \]

Нужно найти \(b_4\).

Для геометрической прогрессии:

\[ b_4^2=b_1b_7 \]

\[ b_4^2=8\cdot12=96 \]

\[ b_4=\pm\sqrt{96}=\pm4\sqrt6 \]

Если все члены прогрессии положительны, то:

\[ \boxed{b_4=4\sqrt6} \]

Если знак не оговорён, возможны оба значения: \(\boxed{\pm4\sqrt6}\).

При необходимости знаменатель:

\[ q^6=\frac{b_7}{b_1}=\frac{12}{8}=\frac32 \]

\[ q=\pm\sqrt[6]{\frac32} \]

---

6. Доказать тождество

Нужно доказать:

\[ \frac{(\sin\alpha+\sin3\alpha)(\cos\alpha-\cos3\alpha)}{1-\cos4\alpha}=\sin2\alpha \]

Используем формулы суммы и разности:

\[ \sin\alpha+\sin3\alpha=2\sin2\alpha\cos\alpha \]

\[ \cos\alpha-\cos3\alpha=2\sin2\alpha\sin\alpha \]

\[ 1-\cos4\alpha=2\sin^2 2\alpha \]

Подставляем в левую часть:

\[ \frac{2\sin2\alpha\cos\alpha\cdot2\sin2\alpha\sin\alpha}{2\sin^2 2\alpha} \]

\[ =\frac{4\sin^2 2\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2 2\alpha} \]

\[ =2\sin\alpha\cos\alpha \]

\[ =\sin2\alpha \]

Получили правую часть. Тождество доказано:

\[ \boxed{\frac{(\sin\alpha+\sin3\alpha)(\cos\alpha-\cos3\alpha)}{1-\cos4\alpha}=\sin2\alpha} \]

При \(\alpha\ne \frac{\pi k}{2}\), где выражения определены.

Вариант I

1. Решите уравнение: \[ (x^2-5x)^2-2(x^2-5x)-24=0. \]

Пусть \(t=x^2-5x\). Тогда: \[ t^2-2t-24=0, \] \[ t_1=6,\qquad t_2=-4. \]

Если \(x^2-5x=6\), то \[ x^2-5x-6=0, \] \[ x=-1,\quad x=6. \]

Если \(x^2-5x=-4\), то \[ x^2-5x+4=0, \] \[ x=1,\quad x=4. \]

Ответ: \(-1;\ 1;\ 4;\ 6\).

---

2. Решите неравенство: \[ x^2+2x\le 3x. \]

\[ x^2-x\le 0, \] \[ x(x-1)\le 0. \]

Ответ: \(x\in[0;1]\).

---

3. Решите систему: \[ \begin{cases} x^2+y^2=26,\\ xy-5=0. \end{cases} \]

Из второго уравнения: \[ xy=5. \]

Тогда: \[ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=26+10=36, \] \[ x+y=\pm 6. \]

Если \(x+y=6\), \(xy=5\), то \[ x=1,\ y=5 \quad \text{или} \quad x=5,\ y=1. \]

Если \(x+y=-6\), \(xy=5\), то \[ x=-1,\ y=-5 \quad \text{или} \quad x=-5,\ y=-1. \]

Ответ: \((1;5),\ (5;1),\ (-1;-5),\ (-5;-1)\).

---

4. Исследуйте функцию и постройте её график: \[ y=4x-2x^2+6. \]

\[ y=-2x^2+4x+6=-2(x-1)^2+8. \]

Вершина параболы: \[ (1;8). \]

Ветви направлены вниз, так как \(-2<0\).

Нули функции: \[ -2x^2+4x+6=0, \] \[ x^2-2x-3=0, \] \[ x=-1,\quad x=3. \]

Точка пересечения с осью \(Oy\): \[ y(0)=6. \]

Точки для построения графика: \[ (-1;0),\ (0;6),\ (1;8),\ (3;0). \]

Свойства функции:

• область определения: \(x\in\mathbb R\);
• область значений: \(y\in(-\infty;8]\);
• наибольшее значение \(y=8\) при \(x=1\);
• функция возрастает на \((-\infty;1]\) и убывает на \([1;+\infty)\);
• \(y>0\) при \(x\in(-1;3)\);
• \(y<0\) при \(x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)\).

График — парабола с вершиной \((1;8)\), ветвями вниз, проходящая через точки \((-1;0)\), \((0;6)\), \((3;0)\).

---

5. Дано: \[ b_1=8,\qquad b_7=12. \] Найдите \(b_4\).

Для геометрической прогрессии: \[ b_4^2=b_1b_7. \]

Тогда: \[ b_4^2=8\cdot 12=96, \] \[ b_4=\pm\sqrt{96}=\pm 4\sqrt6. \]

Если все члены прогрессии положительны, то \[ b_4=4\sqrt6. \]

Ответ: \(\pm 4\sqrt6\) (при положительных членах — \(4\sqrt6\)).

---

6. Докажите тождество: \[ \frac{(\sin\alpha+\sin3\alpha)(\cos\alpha-\cos3\alpha)}{1-\cos4\alpha}=\sin2\alpha. \]

Используем формулы: \[ \sin\alpha+\sin3\alpha=2\sin2\alpha\cos\alpha, \] \[ \cos\alpha-\cos3\alpha=2\sin2\alpha\sin\alpha, \] \[ 1-\cos4\alpha=2\sin^2 2\alpha. \]

Тогда левая часть равна: \[ \frac{2\sin2\alpha\cos\alpha\cdot 2\sin2\alpha\sin\alpha}{2\sin^2 2\alpha} = \frac{4\sin^2 2\alpha\sin\alpha\cos\alpha}{2\sin^2 2\alpha} = 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin2\alpha. \]

Получили правую часть. Тождество доказано.

\[ \boxed{\frac{(\sin\alpha+\sin3\alpha)(\cos\alpha-\cos3\alpha)}{1-\cos4\alpha}=\sin2\alpha} \]

при \(\sin2\alpha\ne 0\).