Реши неравенство

Ниже — полные решения всех шести с обоснованием каждого шага: ОДЗ, случай правой части (знак), возведение в квадрат, метод интервалов, пересечение и проверка границ.

---

1) \(\sqrt{x}<3\)

ОДЗ: \(x\ge 0\).

Обе части неотрицательны (\(3>0\)), поэтому возведение в квадрат равносильно: \[ x<9. \] Пересечение с ОДЗ: \[ \begin{cases}x\ge 0\\ x<9\end{cases}\Rightarrow x\in[0;9). \]

Проверка границ: \(x=0\): \(\sqrt{0}=0<3\) — верно, 0 входит. \(x=9\): \(\sqrt{9}=3<3\) — неверно, 9 не входит.

Ответ: \(x\in[0;9)\).

---

2) \(\sqrt{x^2-3x}<2\)

ОДЗ: \[ x^2-3x\ge 0 \iff x(x-3)\ge 0. \] Метод интервалов: корни 0 и 3, знак «+» вне отрезка: \[ x\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty). \]

Правая часть \(2>0\), обе части неотрицательны — возводим в квадрат: \[ x^2-3x<4 \iff x^2-3x-4<0 \iff (x-4)(x+1)<0. \] Корни \(-1\) и \(4\), знак «−» между ними: \[ -1<x<4. \]

Пересекаем с ОДЗ: \[ (-1;4)\cap\Big((-\infty;0]\cup[3;+\infty)\Big)=(-1;0]\cup[3;4). \]

Проверка границ: \(x=-1\): под корнем 4, \(\sqrt4=2<2\) — неверно, \(-1\) не входит. \(x=0\): \(\sqrt0=0<2\) — верно, входит. \(x=3\): \(\sqrt0=0<2\) — верно, входит. \(x=4\): \(\sqrt4=2<2\) — неверно, \(4\) не входит.

Ответ: \(x\in(-1;0]\cup[3;4)\).

---

3) \(\sqrt{x+12}<x\)

ОДЗ: \(x\ge -12\).

Знак правой части. Левая часть \(\sqrt{x+12}\ge 0\). Если \(x\le 0\), то правая часть не больше нуля, и строгое неравенство \(\text{неотрицательное}<x\) невозможно. Значит, необходимо \(x>0\).

При \(x>0\) обе части положительны — возводим в квадрат: \[ x+12<x^2 \iff x^2-x-12>0 \iff (x-4)(x+3)>0. \] Корни \(-3\) и \(4\), знак «+» вне отрезка: \[ x<-3\quad\text{или}\quad x>4. \] Пересекаем с условием \(x>0\): \[ x\in(4;+\infty). \]

Проверка границ: \(x=4\): \(\sqrt{16}=4<4\) — неверно, \(4\) не входит. \(x=5\): \(\sqrt{17}\approx4{,}12<5\) — верно.

Ответ: \(x\in(4;+\infty)\).

---

4) \(\sqrt{3x+13}\le x+1\)

ОДЗ: \[ 3x+13\ge 0 \iff x\ge -\frac{13}{3}. \]

Разбираем знак правой части.

Случай 1: \(x+1<0\), то есть \(x<-1\). Тогда правая часть отрицательна, а левая \(\ge 0\), поэтому \(\sqrt{3x+13}\le x+1\) неверно. Решений нет.

Случай 2: \(x+1\ge 0\), то есть \(x\ge -1\). Обе части неотрицательны — возводим в квадрат: \[ 3x+13\le x^2+2x+1, \] \[ 0\le x^2-x-12, \] \[ (x-4)(x+3)\ge 0 \iff x\le -3\ \text{или}\ x\ge 4. \] С учётом \(x\ge -1\): \[ x\ge 4. \]

Этот случай уже учитывает ОДЗ (\(4\ge -\frac{13}{3}\)).

Проверка границ: \(x=4\): \(\sqrt{25}=5\le 5\) — верно, 4 входит (неравенство нестрогое). \(x=3\): \(\sqrt{22}\approx4{,}69\le 4\) — неверно.

Ответ: \(x\in[4;+\infty)\).

---

5) \(\sqrt{2x+4}<x+2\)

ОДЗ: \[ 2x+4\ge 0 \iff x\ge -2. \]

Разбираем знак правой части.

Случай 1: \(x+2<0\), то есть \(x<-2\). Противоречит ОДЗ — этот случай пуст.

Случай 2: \(x+2\ge 0\), то есть \(x\ge -2\). Правая часть неотрицательна, возводим в квадрат: \[ 2x+4<x^2+4x+4, \] \[ 0<x^2+2x, \] \[ x(x+2)>0. \] Корни \(-2\) и \(0\), знак «+» вне отрезка: \[ x<-2\quad\text{или}\quad x>0. \] С учётом \(x\ge -2\) остаётся: \[ x>0. \]

Проверка границ: \(x=0\): \(\sqrt4=2<2\) — неверно, 0 не входит. \(x=-2\): \(\sqrt0=0<0\) — неверно (и уже отсечено условием \(x>0\)). \(x=1\): \(\sqrt6\approx2{,}45<3\) — верно.

Ответ: \(x\in(0;+\infty)\).

---

6) \(\sqrt{x^2-1}>x-2\)

ОДЗ: \[ x^2-1\ge 0 \iff (x-1)(x+1)\ge 0 \iff x\le -1\ \text{или}\ x\ge 1. \]

Случай 1: \(x-2<0\), то есть \(x<2\). Правая часть отрицательна, а \(\sqrt{x^2-1}\ge 0\), значит, неравенство выполнено автоматически. С учётом ОДЗ: \[ x\in(-\infty;-1]\cup[1;2). \]

Случай 2: \(x-2\ge 0\), то есть \(x\ge 2\). Обе части неотрицательны — возводим в квадрат: \[ x^2-1>(x-2)^2, \] \[ x^2-1>x^2-4x+4, \] \[ 4x>5 \iff x>\frac54. \] При \(x\ge 2\) это выполнено всегда, поэтому весь луч \(x\ge 2\) подходит: \[ x\in[2;+\infty). \]

Объединяем случаи: \[ (-\infty;-1]\cup[1;2)\cup[2;+\infty)=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty). \]

Проверка границ: \(x=-1\): \(\sqrt0=0>-3\) — верно, входит. \(x=1\): \(\sqrt0=0>-1\) — верно, входит. \(x=0\): под корнем \(-1\) — не существует, не входит. \(x=2\): \(\sqrt3\approx1{,}73>0\) — верно.

Ответ: \(x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\).

---

Итоговая таблица ответов

№	Неравенство	Ответ
1	\(\sqrt{x}<3\)	\([0;9)\)
2	\(\sqrt{x^2-3x}<2\)	\((-1;0]\cup[3;4)\)
3	\(\sqrt{x+12}<x\)	\((4;+\infty)\)
4	\(\sqrt{3x+13}\le x+1\)	\([4;+\infty)\)
5	\(\sqrt{2x+4}<x+2\)	\((0;+\infty)\)
6	\(\sqrt{x^2-1}>x-2\)	\((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\)

Главное правило для похожих заданий: сравнивать \(\sqrt{f(x)}\) с \(g(x)\) можно возведением в квадрат только при \(g(x)\ge 0\). Если \(g(x)<0\), то неравенство \(\sqrt{f(x)}<g(x)\) решений не имеет, а \(\sqrt{f(x)}>g(x)\) выполнено на всей ОДЗ.

Кратко: дискриминант — это «проверка» квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\): \[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \] В нашей теме он нужен, чтобы найти корни и расставить знаки в методе интервалов.

Как это работает

• \(D>0\) — два разных корня, парабола пересекает ось \(Ox\) в двух точках;
• \(D=0\) — один корень \(x_0=-\frac{b}{2a}\), парабола касается оси;
• \(D<0\) — корней нет, знак трёхчлена всюду совпадает со знаком \(a\).

Если \(a>0\), то между корнями трёхчлен отрицателен, а вне них положителен (ветви вверх). Если \(a<0\) — наоборот.

Применение к неравенствам из задачи

Пункт 2: \(x^2-3x-4<0\). Здесь \(a=1,\ b=-3,\ c=-4\): \[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot(-4)=9+16=25,\qquad \sqrt{D}=5, \] \[ x_1=\frac{3-5}{2}=-1,\qquad x_2=\frac{3+5}{2}=4. \] Ветви вверх, «−» между корнями: \[ -1<x<4. \]

Пункты 3 и 4: \(x^2-x-12>0\) (и \(\ge 0\)). \(a=1,\ b=-1,\ c=-12\): \[ D=1+48=49,\qquad x_1=\frac{1-7}{2}=-3,\quad x_2=\frac{1+7}{2}=4. \] «+» вне отрезка между корнями: \(x<-3\) или \(x>4\).

Пункт 5: \(x^2+2x>0\). \(a=1,\ b=2,\ c=0\): \[ D=4-0=4,\qquad x_1=\frac{-2-2}{2}=-2,\quad x_2=\frac{-2+2}{2}=0. \] «+» вне отрезка: \(x<-2\) или \(x>0\).

Пункт 6 (ОДЗ): \(x^2-1\ge0\). \(a=1,\ b=0,\ c=-1\): \[ D=0+4=4,\qquad x_{1,2}=\frac{\pm 2}{2}=\pm 1. \]

Итоговая таблица

Трёхчлен	\(D\)	Корни	Где «+»
\(x^2-3x-4\)	25	\(-1;\,4\)	\(x<-1\) или \(x>4\)
\(x^2-x-12\)	49	\(-3;\,4\)	\(x<-3\) или \(x>4\)
\(x^2+2x\)	4	\(-2;\,0\)	\(x<-2\) или \(x>0\)
\(x^2-1\)	4	\(-1;\,1\)	\(x<-1\) или \(x>1\)

Частая ошибка: в дискриминанте \(b\) возводится в квадрат, поэтому минус исчезает: при \(b=-3\) будет \((-3)^2=9\), а не \(-9\). А в числителе формулы корней \(b\) подставляется со своим знаком: \(-(-3)=3\).

Замечание: если корни легко угадываются (как \(x^2+2x=x(x+2)\)), дискриминант не обязателен — разложение на множители быстрее. Дискриминант выручает, когда корни нецелые.