12. Теңдемені шешіңіз: а) x⁵+x⁴−6x³−6x²+5x+5=0

Краткий ответ (только действительные корни):

\[ \begin{aligned} &\text{а) } x=-1 \text{ (кратность 2)},\quad x=1,\quad x=\pm\sqrt5;\\ &\text{б) } x=1,\quad x=\pm\sqrt3;\\ &\text{г) } x=1,\quad x=\sqrt[3]{2};\\ &\text{д) } x=-1. \end{aligned} \]

Как решать (принцип — группировка и замена):

а) \[ x^5+x^4-6x^3-6x^2+5x+5=0 \] Группируем слагаемые с общим множителем: \[ x^4(x+1)-6x^2(x+1)+5(x+1)=0, \] \[ (x+1)(x^4-6x^2+5)=0. \] Далее \(x^4-6x^2+5=0\). Замена \(t=x^2\): \[ t^2-6t+5=0 \quad\Rightarrow\quad t=1 \text{ или } t=5. \] Значит, \(x^2=1\) или \(x^2=5\), то есть \(x=\pm1\), \(x=\pm\sqrt5\). С учётом \(x=-1\) из первого множителя получаем корни \(-1\) (дважды), \(1\), \(\sqrt5\), \(-\sqrt5\).

б) \[ x^5-x^4-2x^3+2x^2-3x+3=0 \] \[ x^4(x-1)-2x^2(x-1)-3(x-1)=0, \] \[ (x-1)(x^4-2x^2-3)=0. \] Замена \(t=x^2\): \[ t^2-2t-3=0 \quad\Rightarrow\quad t=3 \text{ или } t=-1. \] \(t=-1\) не даёт действительных корней. \(x^2=3\), значит \(x=\pm\sqrt3\). Плюс \(x=1\).

г) \[ x^6-3x^3+2=0 \] Замена \(y=x^3\): \[ y^2-3y+2=0 \quad\Rightarrow\quad y=1 \text{ или } y=2. \] Тогда \(x^3=1 \Rightarrow x=1\); \(x^3=2 \Rightarrow x=\sqrt[3]{2}\).

д) \[ x^3+2x^2+2x+1=0 \] Группируем: \[ (x^3+1)+(2x^2+2x)=0, \] \[ (x+1)(x^2-x+1)+2x(x+1)=0, \] \[ (x+1)(x^2+x+1)=0. \] Отсюда \(x=-1\). Уравнение \(x^2+x+1=0\) имеет дискриминант \(1-4=-3<0\), поэтому действительных корней не даёт.

Проверка: разложения можно проверить раскрытием скобок — они совпадают с исходными многочленами. Например, в а) \((x+1)(x^4-6x^2+5)=x^5+x^4-6x^3-6x^2+5x+5\).

Пункты в) и е) на фото не видны, поэтому они не разбирались.