реши правильно

Кратко: 1) 6 см, 15 см, 18 см; 2) \(AD=20\) см; 3) 6 см и 8 см.

1. Отношение сторон и периметр

Пусть стороны подобного треугольника равны \(2k\), \(5k\), \(6k\) — одно и то же отношение сохранено. Периметр:

\[ 2k+5k+6k=13k=39 \;\Rightarrow\; k=3 \]

Стороны: \(6\), \(15\), \(18\) см. Проверка: \(6+15+18=39\), а \(6:15:18=2:5:6\).

Принцип: у подобных треугольников каждая сторона умножается на один и тот же коэффициент, поэтому и периметр умножается на него же. Находить \(k\) удобнее всего через периметр.

2. Подобие по двум сторонам и углу между ними

Сначала найдём недостающий отрезок диагонали:

\[ CO=AC-AO=27-15=12 \text{ см} \]

Сравним отношения сторон, выходящих из точки \(O\):

\[ \frac{AO}{CO}=\frac{15}{12}=\frac{5}{4},\qquad \frac{DO}{BO}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4} \]

Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) равны как вертикальные. Значит, \(\Delta AOD \sim \Delta COB\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, и соответствие вершин такое: \(A \leftrightarrow C\), \(O \leftrightarrow O\), \(D \leftrightarrow B\).

Третьи стороны относятся с тем же коэффициентом:

\[ \frac{AD}{CB}=\frac{5}{4} \;\Rightarrow\; AD=16\cdot\frac{5}{4}=20 \text{ см} \]

Принцип: для доказательства подобия достаточно двух пар сторон с равным отношением и равного угла между ними. Главное — не перепутать, какая вершина какой соответствует: отношение берётся у сторон, лежащих против равных углов.

3. Угол, опирающийся на диаметр

Диаметр равен \(2R=10\) см. Точка окружности вместе с концами диаметра образует прямоугольный треугольник: угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\), а гипотенуза — диаметр.

Пусть расстояния равны \(3x\) и \(4x\) (это катеты). По теореме Пифагора:

\[ (3x)^2+(4x)^2=10^2 \;\Rightarrow\; 25x^2=100 \;\Rightarrow\; x=2 \]

Расстояния: \(6\) см и \(8\) см. Проверка: \(6^2+8^2=36+64=100=10^2\) — верно.

Принцип: отношение \(3:4\) с гипотенузой \(10\) даёт «египетский» треугольник \(3:4:5\) с коэффициентом \(2\).