1. Ребро основания правильной четырёхугольной пирамиды 5 м, апофема 5 м. Найдите площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Краткий ответ

1. \(S_{\text{бок}}=50\) м², \(S_{\text{полн}}=75\) м².
2. \(V=192\pi\) см³, \(S_{\text{бок}}=48\pi\) см², \(S_{\text{полн}}=176\pi\) см².
3. \(V=208\).
4. \(8\) банок — если красить только изогнутую поверхность козырька. Если красить ещё и два торца, то \(10\) банок.

---

Решение

1. Правильная четырёхугольная пирамида

Основание — квадрат со стороной \(a=5\) м, апофема \(l=5\) м.
Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников:

\[ S_{\text{бок}}=4\cdot \frac12 al=2al=2\cdot5\cdot5=50\ \text{м}^2. \]

Площадь основания:

\[ S_{\text{осн}}=a^2=25\ \text{м}^2. \]

Значит,

\[ S_{\text{полн}}=50+25=75\ \text{м}^2. \]

---

2. Тело вращения

Прямоугольник вращается вокруг меньшей стороны \(3\) см, значит:

• радиус цилиндра \(R=8\) см;
• высота \(H=3\) см.

Объём:

\[ V=\pi R^2H=\pi\cdot8^2\cdot3=192\pi\ \text{см}^3. \]

Боковая поверхность:

\[ S_{\text{бок}}=2\pi RH=2\pi\cdot8\cdot3=48\pi\ \text{см}^2. \]

Полная поверхность:

\[ S_{\text{полн}}=2\pi R(H+R)=2\pi\cdot8(3+8)=176\pi\ \text{см}^2. \]

---

3. Объём многогранника

Разбиваем фигуру на два прямоугольных параллелепипеда.

Передняя часть:

\[ V_1=4\cdot4\cdot6=96. \]

Задняя высокая часть:

\[ V_2=2\cdot8\cdot7=112. \]

Общий объём:

\[ V=96+112=208. \]

Ответ: \(208\) куб. ед.

---

4. Краска для козырька

На фото видно исправление расхода краски: вместо \(220\) г стоит \(150\) г/м². Беру \(150\) г/м².

Козырёк считаю полуцилиндром. Площадь его изогнутой поверхности — половина боковой поверхности цилиндра:

\[ S=\pi RH=3\cdot3\cdot8=72\ \text{м}^2. \]

Масса краски:

\[ 72\cdot150=10800\ \text{г}=10{,}8\ \text{кг}. \]

В одной банке \(1{,}5\) кг:

\[ 10{,}8:1{,}5=7{,}2. \]

Банки продаются целыми, поэтому нужно округлить вверх:

\[ 7{,}2 \longrightarrow 8. \]

Ответ: 8 банок.

Проверка: \(7\) банок дают \(10{,}5\) кг — не хватает, а \(8\) банок дают \(12\) кг — хватает.

Если по смыслу задачи нужно красить ещё и два торцевых полукруга, добавьте \(27\) м²: получится \(99\) м² и \(10\) банок.