МЕДИАНЫ, БИССЕКТРИСЫ И ВЫСОТЫ ТРЕУГОЛЬНИКА

Условие задания 33 у меня не читается — на снимке мелко. Пришли, пожалуйста, фото именно номера 33 крупным планом или перепиши его текст (все пункты, если они есть), и я сразу решу с объяснением.

Задание 33 — на построение: в каждой рамке треугольник уже нарисован и вершины подписаны, нужно провести указанный отрезок и отметить его свойство.

1. \(AM\) — медиана \(\triangle ABC\). Медиана идёт из вершины к середине противоположной стороны, поэтому \(M\) — середина \(BC\). Проводим \(AM\), отмечаем равные засечки: \(BM=MC\).
2. \(KE\) — медиана \(\triangle PMK\). \(E\) — середина \(PM\): проводим \(KE\) из вершины \(K\), отмечаем \(PE=EM\).
3. \(BC\) — биссектриса \(\triangle BFP\). Точка \(C\) лежит на \(FP\), из \(B\) проводим отрезок к \(FP\), отмечаем дугами \(\angle FBC=\angle CBP\).
4. \(ML\) — биссектриса \(\triangle OMN\). Точка \(L\) лежит на \(ON\), проводим \(ML\) из вершины \(M\), отмечаем \(\angle NML=\angle LMO\).
5. \(DH\) — высота \(\triangle DEF\). \(H\) лежит на \(EF\), из \(D\) опускаем перпендикуляр на \(EF\), отмечаем прямой угол: \(DH\perp EF\).
6. \(PE\) — высота \(\triangle PQR\). \(E\) лежит на \(QR\), из \(P\) опускаем перпендикуляр на \(QR\): \(PE\perp QR\).

Принцип, чтобы не путать:

• медиана делит сторону пополам (равные отрезки);
• биссектриса делит угол пополам (равные углы);
• высота идёт под прямым углом к стороне (квадратик).

Проверка: в каждом пункте у тебя должен появиться ровно один новый отрезок из «своей» вершины и одна метка — равные засечки, равные дуги или прямой угол. В клетке 1 на фото подписано «\(BM=BC\)» — это ошибка, верно \(BM=MC\).

Задание 34 — ответы

1) 6; 2) 7; 3) 10; 4) 35°; 5) 31°; 6) 50°; 7) 90°; 8) 65°; 9) 65°.

Медианы (делят сторону пополам)

1) \(BM\) — медиана к \(AC\), значит \(AM=MC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\). На рисунке \(x\) — это \(AM\), поэтому \(x=6\).

2) \(AF\) — медиана к \(MP\), значит \(MF=FP\). Дано \(FM=7\), следовательно \(x=FP=7\).

3) \(DM\) — медиана к \(HE\), значит \(HM=ME=\dfrac{20}{2}=10\), то есть \(x=10\).

Биссектрисы (делят угол пополам)

4) \(\angle PFQ=70^\circ\), биссектриса \(FL\) даёт два равных угла по \(\dfrac{70^\circ}{2}=35^\circ\), значит \(x=35^\circ\).

5) \(\angle ACD=62^\circ\), \(CM\) — биссектриса: \(x=\dfrac{62^\circ}{2}=31^\circ\).

6) \(\angle KCT=100^\circ\), \(CE\) — биссектриса: \(x=\dfrac{100^\circ}{2}=50^\circ\).

Высоты (перпендикуляр к стороне)

7) \(DH\) — высота, то есть \(DH\perp CQ\). Угол при основании \(H\) прямой, поэтому \(x=90^\circ\).

8) \(AK\) — высота, значит \(AK\perp OM\) и \(\angle AKM=90^\circ\). Тогда \[ x=\angle LKM=90^\circ-25^\circ=65^\circ. \]

9) \(OH\) — высота, значит \(OH\perp BC\) и \(\angle OHC=90^\circ\). Точки \(B,H,C\) лежат на одной прямой, поэтому \[ x=\angle NHO=\angle NHC-\angle OHC=155^\circ-90^\circ=65^\circ. \]

Как рассуждать в похожих задачах: ищи в условии слово медиана → дели сторону на два равных отрезка, биссектриса → дели угол на два равных угла, высота → даёт угол \(90^\circ\); дальше просто считай половину или вычитай из \(90^\circ\) (\(180^\circ\)).