Вариант 1.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вариант 1.
- Выберите все верные утверждения о логарифмах:
- \(\log_a 1 = 0\) при \(a>0, a\ne 1\);
- \(\log_a a = 1\) при \(a>0, a\ne 1\);
- \(\log_a(x\cdot y)=\log_a x\cdot \log_a y\);
- \(\log_a x^n = n\cdot \log_a x\) при \(x>0\);
- \(\log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y\).
- Сопоставьте неравенство и метод его решения:
- \(\log_2(x-1)<3\);
- \(\log_{0.5}(2x+1)\ge \log_{0.5}(x-3)\);
- \(\log_3(x^2-4)>1\). A) Приведение к общему основанию; Б) Метод рационализации; В) Метод замены переменной.
- Решите неравенство: \(\log_2(x^2-5x+6)<1\).
- Найдите область определения функции: \(y=\sqrt{\log_3(9-x^2)}\).
- Составьте алгоритм решения неравенства: \(\log_a x>\log_a g(x)\), где \(0<a<1\).
- Маша утверждает, что неравенство \(\log_2(x-1)<1\) имеет решение \(x<3\). Права ли она? Обоснуйте. Вариант 2.
- Заполните пропуски в свойствах логарифмов:
- \(\log_a(x\cdot y)=\log_a x\,?\,\log_a y\)
- \(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x\,?\,\log_a y\)
- \(\log_a x^n=\,?\,\cdot \log_a x\)
- \(\log_a a=\,?\)
- \(a^{\log_a x}=\,?\)
- Сопоставьте неравенства с его областью определения:
- \(\log_5(x^2-9)\);
- \(\lg(4-x)\);
- \(\ln(x+7)\). A) \(x>-7\); Б) \(x<4\); В) \(x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\).
- Решите неравенство: \(\log_{0.5}(3x-1)\ge -2\).
- Найдите область определения функции: \(y=\sqrt{\log_2(4-x^2)}\).
- Придумайте логарифмическое неравенство, которое решается методом рационализации, и решите его.
- Коля решил неравенство \(\log_2(x-1)+\log_2(x+1)<3\) и получил ответ \(x\in(1;3)\). Проверьте его решение и дайте рекомендации.
На карточке два варианта — ниже я разобрал оба.
Вариант 1
1. Ответ: 1, 2, 4.
Верны стандартные свойства: \(\log_a 1=0\), \(\log_a a=1\) и \(\log_a x^n=n\log_a x\) при \(x>0\).
В 3) произведение логарифмов не равно логарифму произведения, а в 5) логарифм суммы не раскладывается на сумму логарифмов.
2. Ответ: 1 — А, 2 — Б, 3 — В.
- \(3=\log_2 8\), поэтому удобно привести к одному основанию.
- Одинаковое основание, применяем метод рационализации.
- Формально можно ввести замену \(t=x^2-4\), затем решать \(\log_3 t>1\).
3. Ответ: \[ x\in(1;2)\cup(3;4). \]
\[ \log_2(x^2-5x+6)<1 \Longleftrightarrow 0<x^2-5x+6<2. \]
\[ x^2-5x+6>0 \Longleftrightarrow x<2 \text{ или } x>3, \] \[ x^2-5x+6<2 \Longleftrightarrow x^2-5x+4<0 \Longleftrightarrow 1<x<4. \]
Пересечение: \((1;2)\cup(3;4)\). Точки \(1,2,3,4\) не входят: при 2 и 3 логарифм нуля, при 1 и 4 получается равенство \(1\).
4. Ответ: \[ [-2\sqrt2;\,2\sqrt2]. \]
Нужно: \[ \log_3(9-x^2)\ge0 \Longleftrightarrow 9-x^2\ge1, \] так как основание \(3>1\). Отсюда \(x^2\le8\), то есть \(|x|\le2\sqrt2\). Условие \(9-x^2>0\) автоматически выполнено.
5. Алгоритм.
- ОДЗ: \(x>0\), \(g(x)>0\).
- Так как \(0<a<1\), функция \(\log_a t\) убывает, поэтому знак неравенства меняется: \[ \log_a x>\log_a g(x) \Longleftrightarrow x<g(x). \]
- Решаем систему: \[ \begin{cases} x>0,\\ g(x)>0,\\ x<g(x). \end{cases} \]
- Отмечаем решения на числовой прямой и записываем ответ. Границы ОДЗ проверяем отдельно.
6. Ответ: Маша не права.
\[ \log_2(x-1)<1 \Longleftrightarrow 0<x-1<2 \Longleftrightarrow 1<x<3. \]
Она не учла ОДЗ \(x-1>0\). Правильный ответ: \(x\in(1;3)\), а не все \(x<3\).
Вариант 2
1. Ответ:
- \(+\),
- \(−\),
- \(n\),
- \(1\),
- \(x\).
То есть: \[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y, \] \[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \] \[ \log_a x^n=n\log_a x,\qquad \log_a a=1,\qquad a^{\log_a x}=x. \]
2. Ответ: 1 — В, 2 — Б, 3 — А.
- \(x^2-9>0\Longleftrightarrow x<-3\) или \(x>3\).
- \(4-x>0\Longleftrightarrow x<4\).
- \(x+7>0\Longleftrightarrow x>-7\).
3. Ответ: \[ x\in\left(\frac13;\frac53\right]. \]
\[ \log_{0.5}(3x-1)\ge-2,\qquad -2=\log_{0.5}4. \]
Так как основание \(0.5<1\), знак меняется: \[ 0<3x-1\le4. \] Отсюда: \[ \frac13<x\le\frac53. \] При \(x=\frac53\) получается равенство, поэтому точка включена.
4. Ответ: \[ [-\sqrt3;\,\sqrt3]. \]
Нужно: \[ \log_2(4-x^2)\ge0 \Longleftrightarrow 4-x^2\ge1, \] то есть \(x^2\le3\). Условие \(4-x^2>0\) выполнено автоматически. Концы входят, так как под корнем может быть 0.
5. Пример.
\[
\log_{x-1}(x+1)<0.
\]
ОДЗ: \[ x-1>0,\quad x-1\ne1,\quad x+1>0, \] откуда \(x>1,\ x\ne2\).
По методу рационализации: \[ \log_a b<0 \Longleftrightarrow (a-1)(b-1)<0. \] Значит: \[ (x-2)\cdot x<0. \] С учётом \(x>1\) получаем: \[ x\in(1;2). \]
6. Ответ: Коля решил верно: \(x\in(1;3)\).
Полное решение: \[ x-1>0,\quad x+1>0 \Longrightarrow x>1. \] \[ \log_2\bigl((x-1)(x+1)\bigr)<3, \] \[ (x-1)(x+1)<8, \] \[ x^2-1<8 \Longleftrightarrow x^2<9 \Longleftrightarrow -3<x<3. \] Пересекаем с \(x>1\): \[ x\in(1;3). \]
Рекомендация: всегда сначала выписывать ОДЗ \(x>1\) и проверять концы интервала. При \(x=3\) получается равенство \(3\), а при \(x=1\) логарифм не определён.
