Вершину C треугольника ABC соединили отрезками с точками на противолежащей стороне.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
ЗАДАНИЕ №4.
Вершину $C$ треугольника $ABC$ соединили отрезками с точками на противолежащей стороне.
[Рисунок: треугольник $ABC$; точки на стороне $AB$ расположены в порядке $A$, $K$, $P$, $R$, $B$. Из вершины $C$ проведены отрезки к $A$, $K$, $P$, $R$, $B$. Четыре угла при вершине $C$ отмечены дугами.]
На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла.
Какие из следующих утверждений верны?

1. Отрезок $CP$ — биссектриса треугольника $KCR$

2. Отрезок $CK$ — биссектриса треугольника $ABC$

3. Отрезок $CR$ — биссектриса треугольника $KCB$

4. Отрезок $CP$ — [неразборчиво] треугольника $ABC$

5. Отрезок $CR$ — биссектриса треугольника $PCB$

Answer

Краткий ответ: верны 1-й, 4-й и 5-й варианты. Галочка на первом стоит верно, но правильных утверждений несколько.
В 4-м пункте на фото слово закрыто кнопкой «Печать»; по смыслу задания это «биссектриса».

Обозначим каждый из четырёх равных углов при вершине $C$ через $\alpha$:

$$
\angle ACK=\angle KCP=\angle PCR=\angle RCB=\alpha .
$$

1. В треугольнике $KCR$ угол при вершине $C$ равен $2\alpha$, и $CP$ делит его на два равных угла $\alpha$ и $\alpha$. Значит, $CP$ — биссектриса $\triangle KCR$. Верно.

2. В треугольнике $ABC$ отрезок $CK$ делит угол $C$ на $\alpha$ и $3\alpha$, а не пополам. Неверно.

3. В треугольнике $KCB$ отрезок $CR$ даёт углы $2\alpha$ и $\alpha$, а не равные. Неверно.

4. В треугольнике $ABC$:
$$
\angle ACP=\alpha+\alpha=2\alpha,\qquad
\angle PCB=\alpha+\alpha=2\alpha.
$$
То есть $CP$ делит угол $C$ пополам. Верно.

5. В треугольнике $PCB$:
$$
\angle PCR=\alpha,\qquad \angle RCB=\alpha.
$$
Значит, $CR$ — биссектриса $\triangle PCB$. Верно.

Проверка: весь угол $ACB$ равен $4\alpha$; $CP$ оставляет по $2\alpha$ с каждой стороны, а $CR$ делит угол $PCB$, равный $2\alpha$, на две части по $\alpha$.