2л практикасын аткар №2

№2. Пайыздарды ондық бөлшекке айналдыру — толық шешу

---

1. Теориялық негіз

Пайыз — шаманың жүзден бір бөлігі. Анықтама бойынша:

\[1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01\]

Демек кез келген \(p\%\) санын ондық бөлшекке айналдыру ережесі:

\[p\% = \frac{p}{100} = p : 100\]

Яғни пайыз көрсеткен санды 100-ге бөлеміз. Практикада бұл — үтірді екі таңба солға жылжыту.

---

2. Әр тапсырманы толық талдау

а) \(68\%\)

\[68\% = \frac{68}{100} = 0{,}68\]

Қысқарту: \(\frac{68}{100} = \frac{34}{50} = \frac{17}{25}\). Үтірді жылжыту: \(68 \rightarrow 6{,}8 \rightarrow 0{,}68\) ✓

ә) \(95\%\)

\[95\% = \frac{95}{100} = \frac{19}{20} = 0{,}95\]

Тексеру: \(0{,}95 \cdot 100 = 95\) ✓

б) \(199\%\)

\[199\% = \frac{199}{100} = 1{,}99\]

Бұл жерде пайыз 100-ден үлкен, сондықтан нәтиже 1-ден үлкен болады. \(\frac{199}{100}\) — бұрыс бөлшек, оны аралас санға айналдырсақ: \(1\frac{99}{100}\).

г) \(6\frac{1}{2}\%\)

Алдымен аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырамыз:

\[6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}\]

Енді 100-ге бөлеміз:

\[6\frac{1}{2}\% = \frac{\frac{13}{2}}{100} = \frac{13}{2 \cdot 100} = \frac{13}{200} = 0{,}065\]

Ондық жолмен тексеру: \(6\frac{1}{2} = 6{,}5\), сонда \(6{,}5 \rightarrow 0{,}65 \rightarrow 0{,}065\) ✓

ғ) \(40\frac{1}{2}\%\)

\[40\frac{1}{2} = \frac{40 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{81}{2}\]

\[40\frac{1}{2}\% = \frac{\frac{81}{2}}{100} = \frac{81}{200} = 0{,}405\]

Ондық жолмен: \(40{,}5 \rightarrow 4{,}05 \rightarrow 0{,}405\) ✓

д) \(50{,}7\%\)

\[50{,}7\% = \frac{50{,}7}{100} = 0{,}507\]

Бөлшек түрінде: \(\frac{507}{1000}\) (үтірден кейін бір таңба, оған тағы екі таңба қосылады — барлығы үш таңба).

---

3. Жауаптар кестесі

Тapсырма	Пайыз	Бөлшек	Ондық бөлшек
а)	\(68\%\)	\(\frac{17}{25}\)	\(0{,}68\)
ә)	\(95\%\)	\(\frac{19}{20}\)	\(0{,}95\)
б)	\(199\%\)	\(\frac{199}{100}\)	\(1{,}99\)
г)	\(6\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{13}{200}\)	\(0{,}065\)
ғ)	\(40\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{81}{200}\)	\(0{,}405\)
д)	\(50{,}7\%\)	\(\frac{507}{1000}\)	\(0{,}507\)

---

4. Тексеру (кері амал)

Ондық бөлшекті 100-ге көбейтіп, бастапқы пайыз шығуы керек:

– \(0{,}68 \cdot 100 = 68\%\) ✓ – \(0{,}95 \cdot 100 = 95\%\) ✓ – \(1{,}99 \cdot 100 = 199\%\) ✓ – \(0{,}065 \cdot 100 = 6{,}5 = 6\frac{1}{2}\%\) ✓ – \(0{,}405 \cdot 100 = 40{,}5 = 40\frac{1}{2}\%\) ✓ – \(0{,}507 \cdot 100 = 50{,}7\%\) ✓

---

5. Жиі жіберілетін қателер

1. Үтірді бір таңба ғана жылжыту. Пайыз — жүзден бір бөлік, сондықтан әрқашан екі таңба: \(40{,}5 \rightarrow 0{,}405\), бірақ \(40{,}5 \rightarrow 4{,}05\) емес.
2. Аралас санның бүтін бөлігін ғана бөлу. \(6\frac{1}{2}\%\) деген \(6\%\) емес; алдымен \(\frac{13}{2}\) деп бұрыс бөлшекке айналдыру керек.
3. Жетпейтін нөлдерді тастап кету. \(6{,}5 \rightarrow 0{,}065\) — мұнда алдына бір нөл қосылады, әйтпесе разряд өзгереді.
4. 100%-дан үлкен жағдайды «қате» деп ойлау. \(199\%\) заңды жауап, ол жай ғана 1-ден үлкен сан.

---

6. Жалпы алгоритм (ұқсас тапсырмаға)

1. Сан аралас немесе жай бөлшек болса — оны бұрыс бөлшекке не ондық бөлшекке айналдыр.
2. Алынған санды 100-ге бөл (үтірді екі таңба солға жылжыт).
3. Мүмкін болса, жай бөлшекті қысқарт.
4. Кері амалмен тексер: нәтижені 100-ге көбейт.

Жауабы: а) \(0{,}68\); ә) \(0{,}95\); б) \(1{,}99\); г) \(0{,}065\); ғ) \(0{,}405\); д) \(0{,}507\).

Түсіндім — екі жауапты біртұтас шешімге біріктірдім.

№2. Пайыздарды ондық бөлшекке айналдыру

Жауабы: а) \(0{,}68\); ә) \(0{,}95\); б) \(1{,}99\); г) \(0{,}065\); ғ) \(0{,}405\); д) \(0{,}507\).

Ереже. Пайыз — тұтастың жүзден бір бөлігі:

\[p\% = \frac{p}{100}\]

Сондықтан санды 100-ге бөлеміз, яғни үтірді екі таңба солға жылжытамыз.

Шешуі

а) \(68\% = \frac{68}{100} = \frac{17}{25} = 0{,}68\)

ә) \(95\% = \frac{95}{100} = \frac{19}{20} = 0{,}95\)

б) \(199\% = \frac{199}{100} = 1\frac{99}{100} = 1{,}99\) — пайыз 100-ден үлкен, сондықтан нәтиже 1-ден үлкен.

г) Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырамыз:

\[6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}, \qquad 6\frac{1}{2}\% = \frac{13}{2 \cdot 100} = \frac{13}{200} = 0{,}065\]

ғ) \(40\frac{1}{2} = \frac{81}{2}\), сондықтан

\[40\frac{1}{2}\% = \frac{81}{200} = 0{,}405\]

д) \(50{,}7\% = \frac{50{,}7}{100} = \frac{507}{1000} = 0{,}507\)

Кесте

Тапсырма	Пайыз	Жай бөлшек	Ондық бөлшек
а)	\(68\%\)	\(\frac{17}{25}\)	\(0{,}68\)
ә)	\(95\%\)	\(\frac{19}{20}\)	\(0{,}95\)
б)	\(199\%\)	\(\frac{199}{100}\)	\(1{,}99\)
г)	\(6\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{13}{200}\)	\(0{,}065\)
ғ)	\(40\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{81}{200}\)	\(0{,}405\)
д)	\(50{,}7\%\)	\(\frac{507}{1000}\)	\(0{,}507\)

Тексеру. Нәтижені 100-ге көбейткенде бастапқы пайыз шығады: \(0{,}68 \cdot 100 = 68\%\); \(0{,}065 \cdot 100 = 6{,}5 = 6\frac{1}{2}\%\); \(1{,}99 \cdot 100 = 199\%\) — бәрі дұрыс.

Жиі кездесетін қателер: үтірді бір таңба ғана жылжыту; аралас санның бүтін бөлігін ғана 100-ге бөлу; жетпейтін нөлді жазып қалдырмау (\(6{,}5 \rightarrow 0{,}065\)); 100%-дан үлкен жауапты қате деп есептеу.

Алгоритм: аралас/жай бөлшекті ондыққа айналдыр → 100-ге бөл (үтірді екі таңба солға жылжыт) → мүмкін болса қысқарт → кері амалмен тексер.

Сыныптағы тактадағы үлгі бойынша, пайыздарды жай бөлшекке айналдырып, толық қысқарту жолымен шығарамын.

д) \[2\frac{1}{2}\% = \frac{\frac{5}{2}}{100} = \frac{5}{2} : 100 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{5}{200} = \frac{1}{40}\]

е) \[12{,}5\% = \frac{12{,}5}{100} = \frac{12{,}5 \cdot 10}{100 \cdot 10} = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}\]

Түсіндірме:

1. д) мысалында: Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдырдық: \(2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}\). Оны 100-ге бөлдік (яғни \(\frac{1}{100}\)-ге көбейттік): \(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{5}{200}\). Қысқарттық: алымы мен бөлімін 5-ке бөлсек, \(\frac{1}{40}\) шығады. Ондық түрі: \(2{,}5 : 100 = 0{,}025\).

2. е) мысалында: Бөлшек алымында үтір бар, сондықтан алымы мен бөлімін 10-ға көбейтіп, үтірден құтылдық: \(\frac{12{,}5 \cdot 10}{100 \cdot 10} = \frac{125}{1000}\). Қысқарттық: екеуін де 125-ке бөлсек, \(\frac{1}{8}\) шығады. Ондық түрі: \(12{,}5 : 100 = 0{,}125\).

Жауабы: д) \(\frac{1}{40}\) (немесе \(0{,}025\)); е) \(\frac{1}{8}\) (немесе \(0{,}125\)).

№2 — толық шешім (бір үлгімен: жай бөлшекке айналдырып, қысқарту)

а) \[68\% = \frac{68}{100} = \frac{17}{25} = 0{,}68\]

ә) \[95\% = \frac{95}{100} = \frac{19}{20} = 0{,}95\]

б) \[199\% = \frac{199}{100} = 1\frac{99}{100} = 1{,}99\] Мұнда пайыз 100-ден үлкен, сондықтан нәтиже 1-ден үлкен болады.

г) \[6\frac{1}{2}\% = \frac{13}{2} : 100 = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{13}{200} = 0{,}065\]

ғ) \[40\frac{1}{2}\% = \frac{81}{2} : 100 = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{81}{200} = 0{,}405\]

д) \[50{,}7\% = \frac{50{,}7}{100} = \frac{50{,}7 \cdot 10}{100 \cdot 10} = \frac{507}{1000} = 0{,}507\]

Негізгі ереже: \(p\% = \frac{p}{100}\), яғни санды 100-ге бөлеміз (үтірді екі таңба солға жылжытамыз). Аралас сан болса, алдымен бұрыс бөлшекке айналдырамыз: \(6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}\), \(40\frac{1}{2} = \frac{81}{2}\). Алымда үтір болса, алым мен бөлімді 10-ға көбейтіп, үтірден құтыламыз.

Жауабы: а) \(\frac{17}{25} = 0{,}68\); ә) \(\frac{19}{20} = 0{,}95\); б) \(1{,}99\); г) \(\frac{13}{200} = 0{,}065\); ғ) \(\frac{81}{200} = 0{,}405\); д) \(\frac{507}{1000} = 0{,}507\).

Тексеру: \(0{,}68 \cdot 100 = 68\%\); \(0{,}065 \cdot 100 = 6{,}5 = 6\frac{1}{2}\%\); \(1{,}99 \cdot 100 = 199\%\) — жауаптар дұрыс.

Егер оқулығыңдағы №2 тапсырмасының сандары басқаша болса, суретін жібер — сол бойынша шығарамын.

Дәптерге былай жазасың — қысқа, тексеруге ыңғайлы үлгі:

---

Күні: __________ Сынып жұмысы

№2. Пайызды ондық бөлшекке айналдыру

Ереже: \(p\% = \dfrac{p}{100}\)

а) \(68\% = \dfrac{68}{100} = 0{,}68\)

ә) \(95\% = \dfrac{95}{100} = 0{,}95\)

б) \(199\% = \dfrac{199}{100} = 1{,}99\)

г) \(6\dfrac{1}{2}\% = \dfrac{13}{2} : 100 = \dfrac{13}{200} = 0{,}065\)

ғ) \(40\dfrac{1}{2}\% = \dfrac{81}{2} : 100 = \dfrac{81}{200} = 0{,}405\)

д) \(50{,}7\% = \dfrac{50{,}7}{100} = \dfrac{507}{1000} = 0{,}507\)

Жауабы: а) \(0{,}68\); ә) \(0{,}95\); б) \(1{,}99\); г) \(0{,}065\); ғ) \(0{,}405\); д) \(0{,}507\).

---

Жазу ережелері (дәптерде):

1. Әр тармақты жаңа жолдан баста, әріпті (а, ә, б...) міндетті түрде қой.
2. Үш бөлікті көрсет: пайыз → бөлшек → ондық бөлшек. Егер бөлшекті қысқарту оңай болса, қысқартылған түрін де жаз (\(68\% = \frac{17}{25}\)).
3. Аралас санды алдымен бұрыс бөлшекке айналдыр — мұны жазбай кетпе, мұғалім соны тексереді: \(6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}\).
4. Жауабын жеке жолға, барлық тармақты бір қатарға жазып шығар.
5. Ұзын түсіндірмелерді («себебі...», «бұл дегеніміз...») жазба — олар ауызша айтуға арналған. Дәптерде тек ереже мен есептеу қалады.
6. Кестені тек мұғалім талап етсе ғана сыз, әйтпесе жолмен жазу жеткілікті.

Бөлшектерді қолмен жазғанда сызықты сызғышпен тартып, алымы мен бөлімін бір-бірінің астына туралап жазсаң, тексеруге әлдеқайда ыңғайлы болады.

№2. Пайыздарды ондық бөлшекке айналдыру — толық (ұзартылған) шешім

---

1. Негізгі ереже және формулалар

Пайыз дегеніміз — қандай да бір шаманың жүзден бір бөлігі. Ол анықтама бойынша:

\[1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01\]

Осыдан кез келген пайызды бөлшекке айналдырудың жалпы формуласы шығады:

\[p\% = \frac{p}{100}\]

Бұл формуланы түрлендіріп, төрт түрлі жазуға болады:

\[p\% = \frac{p}{100} = p : 100 = p \cdot \frac{1}{100} = p \cdot 0{,}01\]

Яғни пайыз көрсеткен санды 100-ге бөлеміз. Практикада бұл — үтірді екі таңба солға жылжыту деген сөз, себебі 100 санында екі нөл бар.

Жұмыс барысы әрқашан үш кезеңнен тұрады:

1. Дайындық — аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру, алымдағы үтірден құтылу.
2. Бөлу — алынған санды 100-ге бөлу.
3. Қорытынды — жай бөлшекті қысқарту және оны ондық бөлшекке айналдыру.

---

2. а) \(68\%\)

1-қадам. Пайызды бөлшекке айналдыру.

\[68\% = \frac{68}{100}\]

2-қадам. Қысқарту. Ең үлкен ортақ бөлгішті (ЕҮОБ) Евклид алгоритмімен табамыз:

\[100 = 68 \cdot 1 + 32\] \[68 = 32 \cdot 2 + 4\] \[32 = 4 \cdot 8 + 0\]

Соңғы нөлге тең емес қалдық — \(4\), демек \(\text{ЕҮОБ}(68;\,100) = 4\).

\[68 : 4 = 17, \qquad 100 : 4 = 25\]

\[\frac{68}{100} = \frac{17}{25}\]

3-қадам. Ондық бөлшекке айналдыру. Бөлім 25-ке тең, оны 4-ке көбейтсек, 100 шығады:

\[\frac{17}{25} = \frac{17 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{68}{100} = 0{,}68\]

4-қадам. Тексеру. \(0{,}68 \cdot 100 = 68\) ✓

Жауабы: \(68\% = \dfrac{17}{25} = 0{,}68\).

---

3. ә) \(95\%\)

1-қадам.

\[95\% = \frac{95}{100}\]

2-қадам. Қысқарту. Екі сан да 5-ке бөлінеді (95 және 100 сандары 5-ке аяқталады), ал 19 жай сан болғандықтан, басқа ортақ бөлгіш жоқ. Демек \(\text{ЕҮОБ}(95;\,100) = 5\).

\[95 : 5 = 19, \qquad 100 : 5 = 20\]

\[\frac{95}{100} = \frac{19}{20}\]

3-қадам. Ондық бөлшекке айналдыру. Бөлімді 10-ның дәрежесіне келтіру үшін 20-ны 5-ке көбейтеміз:

\[\frac{19}{20} = \frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{95}{100} = 0{,}95\]

4-қадам. Тексеру. \(0{,}95 \cdot 100 = 95\) ✓

Жауабы: \(95\% = \dfrac{19}{20} = 0{,}95\).

---

4. б) \(199\%\)

1-қадам.

\[199\% = \frac{199}{100}\]

2-қадам. 199 — жай сан (ол 2-ге, 3-ке, 5-ке, 7-ге, 11-ге, 13-ке бөлінбейді), 100-бен ортақ бөлгіші жоқ. Сондықтан бөлшек қысқармайды: \(\text{ЕҮОБ}(199;\,100) = 1\).

3-қадам. Бұрыс бөлшекті аралас санға айналдыру.

\[199 : 100 = 1 \;(\text{қалдық } 99)\]

\[\frac{199}{100} = 1\frac{99}{100} = 1{,}99\]

4-қадам. Мағынасын тексеру. Бұл жерде пайыз 100-ден үлкен, демек нәтиже 1-ден үлкен болуы керек — солай болып шықты: \(1{,}99 > 1\). Бұл — дұрыс жауап, қате емес: шама тұтастан да үлкен.

5-қадам. Тексеру. \(1{,}99 \cdot 100 = 199\) ✓

Жауабы: \(199\% = \dfrac{199}{100} = 1\dfrac{99}{100} = 1{,}99\).

---

5. г) \(6\dfrac{1}{2}\%\)

1-қадам. Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру.

\[6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}\]

2-қадам. 100-ге бөлу.

\[6\frac{1}{2}\% = \frac{\frac{13}{2}}{100} = \frac{13}{2} : 100 = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{13}{2 \cdot 100} = \frac{13}{200}\]

Ережені еске түсір: бөлшекті бүтін санға бөлгенде алымы сол күйінде қалады, бөлімі сол санға көбейтіледі.

3-қадам. Қысқарту. 13 — жай сан, 200-ге бөлінбейді, сондықтан \(\text{ЕҮОБ}(13;\,200) = 1\). Бөлшек қысқармайды.

4-қадам. Ондық бөлшекке айналдыру. Бөлім 200, оны 5-ке көбейтсек, 1000 шығады:

\[\frac{13}{200} = \frac{13 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{65}{1000} = 0{,}065\]

5-қадам. Екінші әдіспен тексеру (үтірді жылжыту).

\[6\frac{1}{2} = 6{,}5 \;\rightarrow\; 0{,}65 \;\rightarrow\; 0{,}065\]

Екі әдістің жауабы бірдей ✓

6-қадам. Тексеру. \(0{,}065 \cdot 100 = 6{,}5 = 6\dfrac{1}{2}\) ✓

Жауабы: \(6\dfrac{1}{2}\% = \dfrac{13}{200} = 0{,}065\).

---

6. ғ) \(40\dfrac{1}{2}\%\)

1-қадам. Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру.

\[40\frac{1}{2} = \frac{40 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{81}{2}\]

2-қадам. 100-ге бөлу.

\[40\frac{1}{2}\% = \frac{81}{2} : 100 = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{81}{200}\]

3-қадам. Қысқарту. \(\text{ЕҮОБ}(81;\,200) = 1\), себебі \(81 = 3^4\), ал \(200 = 2^3 \cdot 5^2\) — ортақ бөлгіш жоқ.

4-қадам. Ондық бөлшекке айналдыру.

\[\frac{81}{200} = \frac{81 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{405}{1000} = 0{,}405\]

5-қадам. Екінші әдіспен тексеру.

\[40\frac{1}{2} = 40{,}5 \;\rightarrow\; 4{,}05 \;\rightarrow\; 0{,}405\]

Дәл келеді ✓

6-қадам. Тексеру. \(0{,}405 \cdot 100 = 40{,}5 = 40\dfrac{1}{2}\) ✓

Жауабы: \(40\dfrac{1}{2}\% = \dfrac{81}{200} = 0{,}405\).

---

7. д) \(50{,}7\%\)

1-қадам. Жазу.

\[50{,}7\% = \frac{50{,}7}{100}\]

2-қадам. Алымдағы үтірден құтылу. Алымда үтірден кейін бір таңба тұр, сондықтан алым мен бөлімді 10-ға көбейтеміз (бөлшектің мәні өзгермейді):

\[\frac{50{,}7}{100} = \frac{50{,}7 \cdot 10}{100 \cdot 10} = \frac{507}{1000}\]

3-қадам. Қысқарту. \(507 = 3 \cdot 169 = 3 \cdot 13^{2}\), ал \(1000 = 2^{3} \cdot 5^{3}\). Ортақ бөлгіш жоқ, сондықтан \(\text{ЕҮОБ}(507;\,1000) = 1\).

4-қадам. Ондық бөлшекке айналдыру. Бөлім 1000 — 10-ның дәрежесі, демек үтірді үш таңба солға жылжытамыз:

\[\frac{507}{1000} = 0{,}507\]

5-қадам. Тексеру. \(0{,}507 \cdot 100 = 50{,}7\) ✓

Жауабы: \(50{,}7\% = \dfrac{507}{1000} = 0{,}507\).

---

8. Қорытынды кесте

Тармақ	Пайыз	Бұрыс бөлшек	ЕҮОБ	Қысқартылған бөлшек	Ондық бөлшек
а)	\(68\%\)	\(\frac{68}{100}\)	4	\(\frac{17}{25}\)	\(0{,}68\)
ә)	\(95\%\)	\(\frac{95}{100}\)	5	\(\frac{19}{20}\)	\(0{,}95\)
б)	\(199\%\)	\(\frac{199}{100}\)	1	\(\frac{199}{100}\)	\(1{,}99\)
г)	\(6\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{13}{200}\)	1	\(\frac{13}{200}\)	\(0{,}065\)
ғ)	\(40\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{81}{200}\)	1	\(\frac{81}{200}\)	\(0{,}405\)
д)	\(50{,}7\%\)	\(\frac{507}{1000}\)	1	\(\frac{507}{1000}\)	\(0{,}507\)

---

9. Жалпы алгоритм (ұқсас тапсырмаға)

1. Пайыздың алдындағы санды жаз. Аралас сан болса — бұрыс бөлшекке айналдыр: \(\frac{\text{бүтін} \cdot \text{бөлім} + \text{алым}}{\text{бөлім}}\).
2. Алымда үтір болса, алым мен бөлімді 10, 100 немесе 1000-ға көбейтіп, үтірден құтыл.
3. Санды 100-ге бөл (бөлшек жағдайында бөлімін 100-ге көбейт).
4. Алымы мен бөлімін ЕҮОБ-қа бөліп қысқарт.
5. Бөлімді 10-ның дәрежесіне келтіру мүмкін болса — ондық бөлшекке айналдыр.
6. Кері амалмен тексер: нәтижені 100-ге көбейткенде бастапқы пайыз шығуы керек.

---

10. Жиі жіберілетін қателер

1. Үтірді бір таңба ғана жылжыту. Пайыз — жүзден бір бөлік, сондықтан әрқашан екі таңба: \(40{,}5 \rightarrow 0{,}405\), бірақ \(4{,}05\) емес.
2. Аралас санның бүтін бөлігін ғана бөлу. \(6\frac{1}{2}\%\) — бұл \(6\%\) емес; алдымен \(\frac{13}{2}\) деп бұрыс бөлшекке айналдыру шарт.
3. Жетпейтін нөлді жазбай кету. \(6{,}5 \rightarrow 0{,}065\): алдына нөл қосылады, әйтпесе разряд өзгереді.
4. 100%-дан үлкен жауапты «қате» деп ойлау. \(199\% = 1{,}99\) — заңды жауап, шама тұтастан үлкен.
5. Қысқартуды ұмыту. Жауапты \(\frac{68}{100}\) күйінде қалдырмай, \(\frac{17}{25}\) деп жаз.

---

Жалпы жауабы: а) \(\frac{17}{25} = 0{,}68\); ә) \(\frac{19}{20} = 0{,}95\); б) \(1{,}99\); г) \(\frac{13}{200} = 0{,}065\); ғ) \(\frac{81}{200} = 0{,}405\); д) \(\frac{507}{1000} = 0{,}507\).

№2. Пайыздарды ондық бөлшекке айналдыру — ұзартылған (толық) шешім

---

Кіріспе: негізгі ереже

Пайыз дегеніміз — қандай да бір шаманың жүзден бір бөлігі. Ол анықтама бойынша:

\[1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01\]

Осыдан кез келген \(p\%\) санын бөлшекке айналдырудың жалпы формуласы шығады:

\[p\% = \frac{p}{100} = p : 100\]

Яғни пайыз көрсеткен санды 100-ге бөлеміз. Практикада бұл — үтірді екі таңба солға жылжыту, ал бөлшек түрінде жазу үшін — бөліміне 100 жазып, мүмкін болса қысқарту.

Әр тармақты үш кезеңмен шығарамыз: 1) жай бөлшекке айналдыру → 2) қысқарту → 3) ондық бөлшекке көшіру және тексеру.

---

а) \(68\%\)

1-қадам. Бөлшекке айналдыру:

\[68\% = \frac{68}{100}\]

2-қадам. Қысқарту. Алым мен бөлімнің ең үлкен ортақ бөлгішін табамыз:

\[68 = 2^2 \cdot 17, \qquad 100 = 2^2 \cdot 5^2\]

Ортақ көбейткіш — \(2^2 = 4\). Екеуін де 4-ке бөлеміз:

\[\frac{68}{100} = \frac{68 : 4}{100 : 4} = \frac{17}{25}\]

3-қадам. Ондық бөлшекке көшіру. Бөлімді 10-ның дәрежесіне келтіру үшін алым мен бөлімді 4-ке көбейтеміз:

\[\frac{17}{25} = \frac{17 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{68}{100} = 0{,}68\]

4-қадам. Тексеру: \(0{,}68 \cdot 100 = 68\%\). ✓

Жауабы: \(\frac{17}{25} = 0{,}68\).

---

ә) \(95\%\)

1-қадам:

\[95\% = \frac{95}{100}\]

2-қадам. Қысқарту. \(95 = 5 \cdot 19\), \(100 = 4 \cdot 25 = 2^2 \cdot 5^2\). Ортақ бөлгіш — 5:

\[\frac{95}{100} = \frac{95 : 5}{100 : 5} = \frac{19}{20}\]

3-қадам. Ондық бөлшекке көшіру. Бөлім 20 — оны 100-ге келтіру үшін 5-ке көбейтеміз:

\[\frac{19}{20} = \frac{19 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{95}{100} = 0{,}95\]

4-қадам. Тексеру: \(0{,}95 \cdot 100 = 95\%\). ✓

Жауабы: \(\frac{19}{20} = 0{,}95\).

---

б) \(199\%\)

1-қадам:

\[199\% = \frac{199}{100}\]

2-қадам. Қысқарту. \(199\) — жай сан (2, 3, 5, 7, 11, 13-ке бөлінбейді, \(14^2 = 196 < 199 < 15^2 = 225\)). Демек бөлшек қысқармайды.

3-қадам. Аралас санға айналдыру. Бұл — бұрыс бөлшек, бүтін бөлігін бөліп аламыз:

\[\frac{199}{100} = 1\frac{99}{100} = 1{,}99\]

Мағынасы. Пайыз 100%-дан үлкен болғандықтан, нәтиже 1-ден үлкен сан болады — бұл қате емес, заңды жауап. \(199\%\) дегеніміз — тұтастың бір бүтіні және оның тағы \(99\%\)-ы.

4-қадам. Тексеру: \(1{,}99 \cdot 100 = 199\%\). ✓

Жауабы: \(1\frac{99}{100} = 1{,}99\).

---

г) \(6\frac{1}{2}\%\)

1-қадам. Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыру (бұл қадамды жазбай кетуге болмайды):

\[6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}\]

2-қадам. Пайыз ережесін қолдану. Бөлшекті 100-ге бөлу — \(\frac{1}{100}\)-ге көбейту:

\[6\frac{1}{2}\% = \frac{13}{2} : 100 = \frac{13}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{13}{200}\]

3-қадам. Қысқарту. \(13\) — жай сан, \(200 = 2^3 \cdot 5^2\), ортақ бөлгіш жоқ. Бөлшек қысқармайды.

4-қадам. Ондық бөлшекке көшіру:

\[\frac{13}{200} = \frac{13 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{65}{1000} = 0{,}065\]

5-қадам. Бұрышпен бөлу арқылы тексеру:

\(13 : 200\) → бүтін бөлігі 0; \(130 : 200 = 0\) (ондық үлес 0); \(1300 : 200 = 6\) (қалдық 100); \(1000 : 200 = 5\). Нәтиже: \(0{,}065\). ✓

Үтірді жылжыту тәсілімен: \(6{,}5 \rightarrow 0{,}65 \rightarrow 0{,}065\) — үтір екі таңба солға жылжыды, жетпейтін нөлдің орнына 0 қойылды.

6-қадам. Тексеру: \(0{,}065 \cdot 100 = 6{,}5 = 6\frac{1}{2}\%\). ✓

Жауабы: \(\frac{13}{200} = 0{,}065\).

---

ғ) \(40\frac{1}{2}\%\)

1-қадам. Бұрыс бөлшекке айналдыру:

\[40\frac{1}{2} = \frac{40 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{81}{2}\]

2-қадам. 100-ге бөлу:

\[40\frac{1}{2}\% = \frac{81}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{81}{200}\]

3-қадам. Қысқарту. \(81 = 3^4\), \(200 = 2^3 \cdot 5^2\). Ортақ бөлгіш жоқ, бөлшек қысқармайды.

4-қадам. Ондық бөлшекке көшіру:

\[\frac{81}{200} = \frac{81 \cdot 5}{200 \cdot 5} = \frac{405}{1000} = 0{,}405\]

5-қадам. Бұрышпен бөлу: \(81 : 200\) → \(0\); \(810 : 200 = 4\) (қалдық 10); \(100 : 200 = 0\); \(1000 : 200 = 5\). Нәтиже: \(0{,}405\). ✓

Үтірді жылжытумен: \(40{,}5 \rightarrow 4{,}05 \rightarrow 0{,}405\).

6-қадам. Тексеру: \(0{,}405 \cdot 100 = 40{,}5 = 40\frac{1}{2}\%\). ✓

Жауабы: \(\frac{81}{200} = 0{,}405\).

---

д) \(50{,}7\%\)

1-қадам. Бөлшекке айналдыру:

\[50{,}7\% = \frac{50{,}7}{100}\]

2-қадам. Алымдағы үтірден құтылу. Алым мен бөлімді 10-ға көбейтеміз (үтірден кейін бір таңба болғандықтан):

\[\frac{50{,}7}{100} = \frac{50{,}7 \cdot 10}{100 \cdot 10} = \frac{507}{1000}\]

3-қадам. Қысқарту. \(507 = 3 \cdot 169 = 3 \cdot 13^2\), ал \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\). Ортақ бөлгіш жоқ, бөлшек қысқармайды.

4-қадам. Ондық бөлшекке көшіру. Бөлім 1000 болғандықтан, үтірден кейін үш таңба жазылады:

\[\frac{507}{1000} = 0{,}507\]

5-қадам. Тексеру: \(0{,}507 \cdot 100 = 50{,}7\%\). ✓

Жауабы: \(\frac{507}{1000} = 0{,}507\).

---

Жауаптар кестесі

Тармақ	Пайыз	Жай бөлшек	Ондық бөлшек
а)	\(68\%\)	\(\frac{17}{25}\)	\(0{,}68\)
ә)	\(95\%\)	\(\frac{19}{20}\)	\(0{,}95\)
б)	\(199\%\)	\(\frac{199}{100} = 1\frac{99}{100}\)	\(1{,}99\)
г)	\(6\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{13}{200}\)	\(0{,}065\)
ғ)	\(40\frac{1}{2}\%\)	\(\frac{81}{200}\)	\(0{,}405\)
д)	\(50{,}7\%\)	\(\frac{507}{1000}\)	\(0{,}507\)

---

Тексеру (кері амалмен)

Нәтижені 100-ге көбейтсек, бастапқы пайыз қайта шығуы керек:

– \(0{,}68 \cdot 100 = 68\%\) ✓ – \(0{,}95 \cdot 100 = 95\%\) ✓ – \(1{,}99 \cdot 100 = 199\%\) ✓ – \(0{,}065 \cdot 100 = 6{,}5 = 6\frac{1}{2}\%\) ✓ – \(0{,}405 \cdot 100 = 40{,}5 = 40\frac{1}{2}\%\) ✓ – \(0{,}507 \cdot 100 = 50{,}7\%\) ✓

---

Жиі жіберілетін қателер

1. Үтірді бір таңба ғана жылжыту. Пайыз — жүзден бір бөлік, сондықтан әрқашан екі таңба солға: \(40{,}5 \rightarrow 0{,}405\), бірақ \(4{,}05\) емес.
2. Аралас санның бүтін бөлігін ғана 100-ге бөлу. \(6\frac{1}{2}\%\) деген \(6\%\) емес; алдымен \(\frac{13}{2}\) деп бұрыс бөлшекке айналдыру керек.
3. Жетпейтін нөлді жазбай кету. \(6{,}5 \rightarrow 0{,}065\) — үтір мен бірінші маңызды цифрдың арасына нөл қойылады, әйтпесе разряд өзгереді.
4. 100%-дан үлкен жауапты «қате» деп есептеу. \(199\% = 1{,}99\) — дұрыс жауап.
5. Қысқартуды аяқтамай тастау. \(\frac{95}{100}\) деп қалдыруға болады, бірақ \(\frac{19}{20}\) дұрыс түрі; ондық бөлшекке көшіргенде екеуі де бірдей \(0{,}95\) береді.

---

Ұқсас тапсырмаға арналған алгоритм

1. Пайыз алдындағы санды бөлшек түрінде жаз: \(\frac{p}{100}\).
2. Аралас сан болса — бұрыс бөлшекке айналдыр.
3. Алымда үтір болса — алым мен бөлімді 10-ға (100-ге, 1000-ға) көбейтіп, үтірден құтыл.
4. ЕҮОБ тауып қысқарт.
5. Бөлімді 10-ның дәрежесіне келтіру арқылы (немесе бұрышпен бөлу арқылы) ондық бөлшекке көшір.
6. Нәтижені 100-ге көбейтіп тексер.