№ 248 в),г)
Сверь числа и знаки с фото.
- Задайте неравенством числовой промежуток, изображённый на рисунке: в) [Рисунок: числовая прямая со стрелкой вправо; отмечены две закрашенные точки, под левой подпись −0,5, под правой — 7,2; над точками П-образная скобка, её концы расположены над этими точками] г) [Рисунок: числовая прямая со стрелкой вправо; отмечены две незакрашенные (пустые) точки, под левой подпись −5, под правой — −1,7; над точками П-образная скобка, её концы расположены над этими точками]
Кратко (на фото номер виден как «…8» — это и есть № 248):
- в) \(-0{,}5 \le x \le 7{,}2\), промежуток \([-0{,}5;\,7{,}2]\);
- г) \(-5 < x < -1{,}7\), промежуток \((-5;\,-1{,}7)\).
Принцип, по которому это получается
- Смотрим на концы промежутка на координатной прямой:
- закрашенная точка — число входит в промежуток: знак нестрогий (\(\le\) или \(\ge\)), в записи промежутка — квадратная скобка;
- пустой кружок — число не входит: знак строгий ( \(<\) или \(>\) ), скобка круглая.
- Числа записываем слева направо: сначала меньшее, потом большее, а \(x\) стоит между ними — получается двойное неравенство.
- «Крыша» над двумя точками означает, что берётся весь промежуток между ними.
Применяем к рисункам
- в) Обе точки закрашены, значит оба конца включены: \[-0{,}5 \le x \le 7{,}2,\quad x \in [-0{,}5;\,7{,}2].\]
- г) Обе точки пустые, значит оба конца не включены: \[-5 < x < -1{,}7,\quad x \in (-5;\,-1{,}7).\]
Проверка
- в) Возьмём \(x=0\): \(-0{,}5 \le 0 \le 7{,}2\) — верно. Концевая точка \(7{,}2\) тоже подходит, ведь она закрашена.
- г) Возьмём \(x=-3\): \(-5 < -3 < -1{,}7\) — верно. А вот \(x=-5\) и \(x=-1{,}7\) не подходят: кружки пустые.
Общее правило-подсказка: закрашенная точка ↔ квадратная скобка, пустой кружок ↔ круглая скобка.
Обсуждение
3 сообщенияПокажи пример с лучом, где одна скобка круглая
Пример луча с одной круглой скобкой
На координатной прямой точка \(-3\) закрашена, а штриховка идёт вправо — это луч, начинающийся в \(-3\) и уходящий в \(+\infty\).
Двойное неравенство заменить нельзя (справа нет числа), поэтому пишем так: \[-3 \le x < +\infty \quad\Longleftrightarrow\quad x \in [-3;\,+\infty).\]
Здесь скобка перед \(-3\) квадратная (точка закрашена, число входит), а перед \(+\infty\) — круглая.
Почему у бесконечности всегда круглая скобка
\(+\infty\) и \(-\infty\) — не числа, а обозначение «уходим сколько угодно далеко». Дойти до бесконечности нельзя, поэтому «включить» её в промежуток невозможно ни при каком рисунке. Значит, рядом с \(\pm\infty\) всегда стоит круглая скобка — и у луча она есть обязательно.
Сравни два луча
| Рисунок | Неравенство | Промежуток | Скобки |
|---|---|---|---|
| точка \(-3\) закрашена, штриховка вправо | \(-3 \le x\) | \([-3;\,+\infty)\) | одна квадратная, одна круглая |
| точка \(2\) пустая, штриховка вправо | \(x > 2\) | \((2;\,+\infty)\) | обе круглые |
| точка \(4\) закрашена, штриховка влево | \(x \le 4\) | \((-\infty;\,4]\) | одна круглая, одна квадратная |
Проверка
Для \(x \in [-3;\,+\infty)\): число \(-3\) подходит (скобка квадратная, точка закрашена), число \(-2{,}9\) тоже, а вот \(-3{,}1\) уже нет — оно левее начала луча.
Правило-итог: смотри только на «настоящий» конец луча — закрашен → квадратная скобка, пустой кружок → круглая; со стороны бесконечности скобка круглая всегда.
Теорема Пифагора
