5 Разложите на множители. Используйте дистрибутивное правило, чтобы проверить свои ответы. а) ab + bc б) xy − y² в) 14p + 21q²

Краткий ответ

№ 5

• а) \(ab + bc = b(a + c)\)
• б) \(xy - y^{2} = y(x - y)\)
• в) \(14p + 21q^{2} = 7(2p + 3q^{2})\)

№ 6 Руслан ошибся: правильно \(6xy + y^{2} = y(6x + y)\), а не \(y(6x + 2)\).

Как это получается

Главная идея: вынести общий множитель — значит найти то, что есть в каждом слагаемом, и «вынуть» это за скобку, а в скобке оставить «остаток» от каждого слагаемого.

а) В \(ab\) и \(bc\) общий множитель — буква \(b\). От первого слагаемого остаётся \(a\), от второго — \(c\): \[ ab + bc = b(a + c) \]

б) \(xy\) и \(y^{2}\) (то есть \(y \cdot y\)) — общий множитель \(y\). От \(xy\) остаётся \(x\), от \(y^{2}\) остаётся \(y\): \[ xy - y^{2} = y(x - y) \]

в) Здесь общего буквенного множителя нет (\(p\) и \(q\) разные), зато общий числовой: числа 14 и 21 делятся на 7. \[ 14p + 21q^{2} = 7 \cdot 2p + 7 \cdot 3q^{2} = 7(2p + 3q^{2}) \]

Проверка (дистрибутивное правило)

Умножаем множитель на каждое слагаемое в скобках — должно вернуться исходное выражение:

• \(b(a + c) = ba + bc = ab + bc\) ✔
• \(y(x - y) = yx - y^{2} = xy - y^{2}\) ✔
• \(7(2p + 3q^{2}) = 14p + 21q^{2}\) ✔

Небольшой лайфхак: в скобке после вынесения не должно остаться общего множителя — иначе разложение не закончено.

№ 6 — почему Руслан неправ

Он проверял так: \(y(6x + 2) = 6xy + 2y\). Но в исходном выражении второе слагаемое — \(y^{2} = y \cdot y\), значит при вынесении \(y\) в скобке остаётся \(y\), а не 2. У Руслана получилось \(2y\) вместо \(y^{2}\):

\[ y(6x + 2) = 6xy + 2y \ne 6xy + y^{2} \]

Правильно: \[ 6xy + y^{2} = y(6x + y) \]

Проверка: \(y(6x + y) = 6xy + y^{2}\) ✔ (например, при \(x = 1\), \(y = 1\): слева \(6 + 1 = 7\), справа \(1 \cdot (6 + 1) = 7\)).