с решением

Краткие ответы

\[ \text{а) }x=3;\qquad \text{б) }x=2;\qquad \text{в) решений нет};\qquad \text{г) }x=1;\qquad \text{№1 }x=\frac23. \]

Графически корень уравнения \(f(x)=g(x)\) — это абсцисса точки пересечения графиков \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\).

а) \(\log_3 x=4-x\)

Строим \(y=\log_3 x\) по точкам \((1;0)\), \((3;1)\), \((9;2)\), а \(y=4-x\) — прямую через \((0;4)\) и \((4;0)\). Они пересекаются в точке \((3;1)\).

Проверка: \[ \log_3 3=1,\qquad 4-3=1. \]

Ответ: \(x=3\).

б) \(\log_{0,5}x=x-3\)

Берём точки логарифма: \((1;0)\), \((2;-1)\), \((4;-2)\). Прямая \(y=x-3\) проходит через \((1;-2)\) и \((3;0)\). Пересечение — \((2;-1)\).

Проверка: \[ \log_{0,5}2=-1,\qquad 2-3=-1. \]

Ответ: \(x=2\).

в) \(\log_{\frac1x}x+1=\sqrt{x}\)

Здесь логарифм берётся только от \(x\), а \(+1\) стоит вне логарифма. Область определения: \[ x>0,\qquad x\ne1. \]

Используем переход к другому основанию: \[ \log_{\frac1x}x=\frac{\ln x}{\ln \frac1x} =\frac{\ln x}{-\ln x}=-1. \]

Тогда левая часть равна \[ -1+1=0, \] и уравнение превращается в \[ 0=\sqrt{x}. \] Формально получилось бы \(x=0\), но при \(x=0\) логарифм не определён. При \(x=1\) основание логарифма равно \(1\), что тоже недопустимо.

Ответ: решений нет.

г) \(10\log_4x+x^2=\dfrac{5x-2}{3}\)

Строим \(y=10\log_4x+x^2\) и прямую \(y=\dfrac{5x-2}{3}\). Единственная точка пересечения — \((1;1)\).

Проверка: \[ 10\log_4 1+1^2=0+1=1, \] \[ \frac{5\cdot1-2}{3}=\frac33=1. \]

Ответ: \(x=1\).

№1. \(\log_2(4x+5)=\log_2(9-2x)\)

Нужно, чтобы аргументы были положительны: \[ 4x+5>0,\qquad 9-2x>0, \] то есть \[ -\frac54<x<\frac92. \]

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, равны и их аргументы: \[ 4x+5=9-2x. \] \[ 6x=4, \] \[ x=\frac23. \]

Проверка: при \(x=\frac23\) \[ 4x+5=\frac83+5=\frac{23}{3}>0, \] \[ 9-2x=9-\frac43=\frac{23}{3}>0. \] Оба аргумента равны и положительны, значит корень подходит.

Ответ: \(x=\dfrac23\).

Нижнее уравнение №2 на фото обрезано, поэтому его условие полностью не видно — для его решения нужен отдельный чёткий снимок.