с решением

Краткие ответы:

• графически: а) \(x=3\); б) \(x=2\); в) \(x=1\); г) \(x=1\);
• уравнения: 1) \(x=\frac{2}{3}\); 2) \(x=-3\) и \(x=8\).

Нижнее уравнение №3 на фото обрезано — его полностью не восстановить.

Графический способ

Нужно разбить уравнение на две функции \(f(x)=g(x)\), построить оба графика и найти \(x\)-координаты точек пересечения. Обязательно учитываем ОДЗ логарифма: аргумент больше нуля.

а) \(\log_3 x=4-x\)

Строим \(y=\log_3 x\) и \(y=4-x\).

При \(x=3\):

\[ \log_3 3=1,\qquad 4-3=1. \]

Графики пересекаются в точке \((3;1)\).
Ответ: \(x=3\).

б) \(\log_{0{,}5}x=x-3\)

Строим \(y=\log_{0{,}5}x\) и \(y=x-3\).

При \(x=2\):

\[ \log_{0{,}5}2=-1,\qquad 2-3=-1. \]

Ответ: \(x=2\).

в) \(\log_{\frac12}x+1=\sqrt{x}\)

Строим \(y=\log_{\frac12}x+1\) и \(y=\sqrt{x}\).

При \(x=1\):

\[ \log_{\frac12}1+1=0+1=1,\qquad \sqrt1=1. \]

При \(0<x<1\) левая часть больше \(1\), а правая меньше \(1\); при \(x>1\) — наоборот. Значит, точка пересечения только одна.

Ответ: \(x=1\).

г) \(10\log_4x+x^2=\frac{5x-2}{3}\)

Строим:

\[ y_1=10\log_4x+x^2,\qquad y_2=\frac{5x-2}{3}. \]

При \(x=1\):

\[ 10\log_4 1+1^2=0+1=1, \]

\[ \frac{5\cdot1-2}{3}=\frac33=1. \]

По графику точка пересечения одна: \((1;1)\).

Ответ: \(x=1\).

«Решите уравнения»

1. \(\log_2(4x+5)=\log_2(9-2x)\)

Основания логарифмов одинаковые, поэтому:

\[ 4x+5=9-2x. \]

\[ 4x+2x=9-5, \]

\[ 6x=4, \]

\[ x=\frac23. \]

Проверка ОДЗ:

\[ 4\cdot\frac23+5=\frac{23}{3}>0, \]

\[ 9-2\cdot\frac23=\frac{23}{3}>0. \]

Ответ: \(x=\frac23\).

2. \(\log_3(x^2-5x-23)=0\)

Так как \(\log_3 1=0\), то аргумент равен \(1\):

\[ x^2-5x-23=1. \]

\[ x^2-5x-24=0. \]

\[ (x-8)(x+3)=0. \]

\[ x=8 \quad \text{или} \quad x=-3. \]

Оба значения подходят: в обоих случаях аргумент логарифма равен \(1>0\).

Ответ: \(x=-3;\ 8\).