Работа 21. Квадратный корень из произведения и дроби. Вариант 3. 1. Вычислите. а) √169·36 б) √1,21·90000·0,04 в) √9/25 г) √3 6/25

Краткий ответ

1. а) 78; б) 66; в) 0,6; г) 1,8 2. а) 8; б) 4; в) 0,025; г) 2 3. вариант 3) 119

Главное правило

Для \(a\ge 0,\ b\ge 0\) корень из произведения и из дроби раскладывается:

\[\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\ (b>0).\]

Смысл: если число удалось представить произведением (или дробью) удобных квадратов, корень берётся по частям. Проверка всегда одна — возвести ответ в квадрат.

1. Вычислите

а) \(169=13^2,\ 36=6^2\), поэтому \[\sqrt{169\cdot 36}=13\cdot 6=78.\] Проверка: \(78^2=6084=169\cdot 36\).

б) Раскладываем на три множителя: \(1{,}21=1{,}1^2,\ 90000=300^2,\ 0{,}04=0{,}2^2\): \[\sqrt{1{,}21\cdot 90000\cdot 0{,}04}=1{,}1\cdot 300\cdot 0{,}2=330\cdot 0{,}2=66.\]

в) \[\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{\sqrt 9}{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}=0{,}6.\]

г) Смешанное число сначала превращаем в неправильную дробь: \(3\frac{6}{25}=\frac{81}{25}\), а \(81=9^2\): \[\sqrt{3\frac{6}{25}}=\frac{9}{5}=1{,}8.\]

2. Найдите значения выражений

а) Произведение корней — это корень из произведения: \[\sqrt 2\cdot\sqrt{32}=\sqrt{2\cdot 32}=\sqrt{64}=8.\]

б) \(4\frac{4}{9}=\frac{40}{9}\), тогда \(3{,}6\cdot\frac{40}{9}=\frac{18}{5}\cdot\frac{40}{9}=16\): \[\sqrt{3{,}6\cdot 4\frac{4}{9}}=\sqrt{16}=4.\]

в) Частное корней — корень из частного: \[\frac{\sqrt{600}}{\sqrt{960000}}=\sqrt{\frac{600}{960000}}=\sqrt{\frac{1}{1600}}=\frac{1}{40}=0{,}025.\]

г) \[\frac{\sqrt{3{,}2}}{\sqrt{0{,}8}}=\sqrt{\frac{3{,}2}{0{,}8}}=\sqrt 4=2.\]

3. Извлеките корень \(\sqrt{169^2-120^2}\)

Под корнем не произведение, а разность квадратов, поэтому сначала применяем формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):

\[169^2-120^2=(169-120)(169+120)=49\cdot 289=7^2\cdot 17^2,\]

\[\sqrt{169^2-120^2}=\sqrt{49}\cdot\sqrt{289}=7\cdot 17=119.\]

Проверка: \(119^2=14161\) и \(169^2-120^2=28561-14400=14161\) — совпало. Ответ под номером 3; вариант 4 неверен, так как подкоренное выражение — полный квадрат.

Вывод-принцип: ищи под корнем квадраты (чисел, множителей, числителя и знаменателя) — тогда корень считается устно, без калькулятора.