Вершину A треугольника ABC соединили отрезками с точками на противолежащей стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Вершину A треугольника ABC соединили отрезками с точками на противолежащей стороне. [Рисунок: треугольник ABC; вершина A вверху, основание BC внизу; на BC последовательно расположены точки B, P, Q, S, C; из A проведены отрезки AP, AQ, AS; между лучами AB, AP, AQ, AS, AC отмечены четыре равных угла.] На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? ○ Отрезок AQ — биссектриса треугольника ABC ○ Отрезок AP — биссектриса треугольника ABC ○ Отрезок AP — биссектриса треугольника ABQ ○ Отрезок AS — биссектриса треугольника APC ○ Отрезок AQ — [неразборчиво] треугольника APS
Краткий ответ: верны утверждения 1, 3 и 5:
\(AQ\) — биссектриса \(\triangle ABC\), \(AP\) — биссектриса \(\triangle ABQ\), \(AQ\) — биссектриса \(\triangle APS\).
Пятый пункт на фото частично закрыт кнопкой; читаю его как «\(AQ\) — биссектриса треугольника \(APS\)».
Почему так
Обозначим каждый из четырёх равных углов через \(x\):
\[ \angle BAP=\angle PAQ=\angle QAS=\angle SAC=x. \]
Биссектриса треугольника делит угол при вершине пополам.
В \(\triangle ABC\): \[ \angle BAC=4x. \] \(AQ\) делит его на \(2x\) и \(2x\), значит, \(AQ\) — биссектриса. Верно.
\(AP\) делит \(\angle BAC\) на \(x\) и \(3x\), то есть не пополам. Неверно.
В \(\triangle ABQ\): \[ \angle BAQ=2x. \] \(AP\) делит его на \(x\) и \(x\). Верно.
В \(\triangle APC\): \[ \angle PAC=3x. \] \(AS\) делит его на \(2x\) и \(x\), не пополам. Неверно.
В \(\triangle APS\): \[ \angle PAS=2x. \] \(AQ\) делит его на \(x\) и \(x\). Верно.
Ответ: выбрать 1, 3, 5.
