реши задачи (657, 660)

Question

Расшифровка фото нейросетью:
657. По данным рисунка 224 найдите x и у.

658. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
Рис. 224: [Рисунок: два треугольника; на верхнем обозначены 8, 12, 6, a, x; на нижнем — y, 20, 10, 8]

Answer

657. Краткий ответ: $x = 4$, $y = 10$.

Как понять решение:

1. На рисунке 224 — два подобных треугольника. У них равны соответственные углы: один угол общий, а угол $a$ отмечен при параллельных прямых.

2. В подобных треугольниках отношения соответственных сторон равны. Составляем пропорции:
$$
\frac{x}{8} = \frac{10}{20}, \qquad \frac{y}{6} = \frac{20}{12}.
$$

3. Решаем:
$$
x = 8 \cdot \frac{10}{20} = 4, \qquad y = 6 \cdot \frac{20}{12} = 10.
$$

4. Принцип: находим пары сторон, лежащих против равных углов, и записываем отношение «сторона малого треугольника / соответственная сторона большого». Дальше остаётся решить пропорцию.

660. Краткий ответ: а) не обязательно; б) да; в) да.

Обоснование:

а) Не обязательно. Например, равнобедренный треугольник с углами $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$ и равнобедренный с углами $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$ имеют по равному острому углу $40^\circ$, но не подобны: наборы углов разные.

б) Да. Тупой угол в равнобедренном треугольнике может быть только углом при вершине: два тупых угла при основании дали бы сумму больше $180^\circ$. Если тупые углы равны $\alpha$, то углы при основании равны $\frac{180^\circ - \alpha}{2}$. Значит, все углы совпадают, и треугольники подобны.

в) Да. Прямой угол в равнобедренном треугольнике тоже может быть только углом при вершине; тогда углы при основании равны $45^\circ$. У обоих треугольников углы $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$, поэтому они подобны.