ответы с решением

Краткие ответы

№ 1. Правильные дроби

а) \(\frac14\)	б) \(\frac{31}{50}\)	в) \(\frac45\)
г) \(\frac{33}{400}\)	д) \(\frac{71}{200}\)	е) \(\frac{29}{500}\)

№ 2. Неправильные дроби

а) \(\frac{13}{10}\)	б) \(\frac{29}{20}\)	в) \(\frac{69}{50}\)
г) \(\frac{201}{200}\)	д) \(\frac{21}{10}\)	е) \(\frac{1003}{1000}\)

№ 3. Десятичные дроби

а) \(0,67\)	б) \(1,46\)	в) \(0,1875\)
г) \(1,264\)	д) \(0,965\)	е) \(0,594\)

№ 4. Пример: Бекжан получал 50 000, Айдар — 100 000. Прибавка Бекжана \(0,2\cdot50\,000=10\,000\), прибавка Айдара \(0,1\cdot100\,000=10\,000\). Суммы равны.

Ключевой принцип

\[1\%=\frac{1}{100}\] То есть процент — это просто дробь со знаменателем 100, а «перевести проценты в десятичную дробь» — значит разделить число на 100 (запятая уходит на два знака влево). Обратно: умножаем на 100.

Разберу по типам заданий.

№ 1 — правильные дроби (числитель меньше знаменателя)

Число процентов пишем в числитель, 100 — в знаменатель, затем сокращаем.

\[25\%=\frac{25}{100}=\frac14 \qquad 62\%=\frac{62}{100}=\frac{31}{50} \qquad 80\%=\frac{80}{100}=\frac45\]

Смешанное число сначала превращаем в неправильную дробь, а «деление на 100» увеличивает знаменатель в 100 раз:

\[8\frac14\%=\frac{33}{4}\%=\frac{33}{4\cdot100}=\frac{33}{400}\]

\[35\frac12\%=\frac{71}{2}\%=\frac{71}{2\cdot100}=\frac{71}{200}\]

Десятичные проценты: \(5,8\%=\frac{58}{1000}=\frac{29}{500}\) (сначала умножил на 10, чтобы убрать запятую, потом сократил на 2).

№ 2 — неправильные дроби (числитель больше знаменателя, потому что больше 100%)

Действуем так же, но не «вытаскиваем» целую часть:

\[\frac{130}{100}=\frac{13}{10} \qquad \frac{145}{100}=\frac{29}{20} \qquad \frac{138}{100}=\frac{69}{50}\]

\[100\frac12\%=\frac{201}{2}\%=\frac{201}{200} \qquad 210\%=\frac{210}{100}=\frac{21}{10}\]

\[100,3\%=\frac{1003}{1000}\]

Последняя дробь уже несократима: \(1003=17\cdot59\).

№ 3 — в десятичную дробь

\[67\%=0,67 \qquad 146\%=1,46 \qquad 96,5\%=0,965 \qquad 59,4\%=0,594\]

Смешанные проценты удобно сначала записать десятичной дробью, а потом сдвинуть запятую:

\[18\frac34\%=18,75\%=0,1875\] \[126\frac25\%=126,4\%=1,264\]

Проверка

Обратный перевод — умножение на 100%:

• \(\frac{33}{400}=0,0825\), то есть \(8,25\%=8\frac14\%\) — верно;
• \(\frac{71}{200}=0,355\), то есть \(35,5\%=35\frac12\%\) — верно;
• \(0,1875\cdot100\%=18,75\%=18\frac34\%\) — верно;
• \(1,264\cdot100\%=126,4\%=126\frac25\%\) — верно.

№ 4 — почему прибавки могут совпасть

Процент берётся от своей зарплаты, поэтому одинаковый процент даёт разные суммы, а разный процент — одинаковые, если зарплаты разные.

Пусть зарплата Бекжана \(B\), Айдара \(A\). Прибавки: \(0,2B\) и \(0,1A\). По условию они равны:

\[0,2B=0,1A \;\Rightarrow\; A=2B\]

Значит, достаточно, чтобы зарплата Айдара была вдвое больше зарплаты Бекжана — тогда его 10% равны 20% от зарплаты Бекжана. Подставляем любые числа: 50 000 и 100 000 (или 30 000 и 60 000) — прибавка в обоих случаях 10 000 и 6 000 соответственно.