II вариант. Найти промежутки возрастания и убывания функции, а также точки экстремума
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
II вариант [обрезано] возрастания и убывания функции, а также [обрезано] экстремума: ① \(f(x)=-2+3x-x^3\) ② \(f(x)=6x^2-x-5\) ③ \(f(x)=x^3-6x^2-15x-2\) ④ \(f(x)=5x^3-3x^5\) ⑤ \(f(x)=\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{3}x^3\)
Судя по записям, нужно исследовать пять функций на возрастание/убывание и найти экстремумы. Для всех этих многочленов \(x\in\mathbb R\).
Краткий ответ
| № | \(f'(x)\) | Возрастает | Убывает | Экстремумы |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(3(1-x^2)\) | \((-1;1)\) | \((-\infty;-1)\cup(1;\infty)\) | \(x=-1\) — минимум, \(f(-1)=-4\); \(x=1\) — максимум, \(f(1)=0\) |
| 2 | \(12x-1\) | \(\left(\frac1{12};\infty\right)\) | \(\left(-\infty;\frac1{12}\right)\) | \(x=\frac1{12}\) — минимум, \(f\left(\frac1{12}\right)=-\frac{121}{24}\); максимума нет |
| 3 | \(3(x-5)(x+1)\) | \((-\infty;-1)\cup(5;\infty)\) | \((-1;5)\) | \(x=-1\) — максимум, \(f(-1)=6\); \(x=5\) — минимум, \(f(5)=-102\) |
| 4 | \(15x^2(1-x^2)\) | \((-1;1)\) | \((-\infty;-1)\cup(1;\infty)\) | \(x=-1\) — минимум, \(f(-1)=-2\); \(x=1\) — максимум, \(f(1)=2\); \(x=0\) — не экстремум |
| 5 | \(x^2(x-1)(x+1)\) | \((-\infty;-1)\cup(1;\infty)\) | \((-1;1)\) | \(x=-1\) — максимум, \(f(-1)=\frac{2}{15}\); \(x=1\) — минимум, \(f(1)=-\frac{2}{15}\); \(x=0\) — не экстремум |
Как это получается
Главное правило:
\[ f'(x)>0 \Rightarrow \text{функция возрастает},\qquad f'(x)<0 \Rightarrow \text{функция убывает}. \]
Точки, где \(f'(x)=0\), проверяем по смене знака производной:
- знак сменился с «\(-\)» на «\(+\)» — минимум;
- с «\(+\)» на «\(-\)» — максимум;
- знак не сменился — экстремума нет.
Например, для первой функции:
\[ f'(x)=3-3x^2=3(1-x)(1+x). \]
Точки \(x=-1\) и \(x=1\). При \(x<-1\) производная отрицательна, при \(-1<x<1\) положительна, при \(x>1\) снова отрицательна. Значит, в \(x=-1\) минимум, в \(x=1\) максимум.
В №4 и №5 производная равна нулю ещё и при \(x=0\), но знак производной там не меняется, поэтому \(x=0\) не является точкой экстремума.
Если в школе требуют включать концы в промежутки монотонности, можно записывать их с квадратными скобками — на сам ответ это не влияет.
