На рисунке изображены графики функций видов f(x) = k/x и g(x) = ax + b, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Ответ: 12.

Как это устроено

1. Точки пересечения лежат на обоих графиках, поэтому их абсциссы удовлетворяют уравнению \[ \frac{k}{x}=ax+b. \] После умножения на \(x\) получаем квадратное уравнение \[ ax^2+bx-k=0. \] Его корни — это как раз \(x_A\) и \(x_B\): один корень читаем по рисунку, второй находим.

2. Ищем \(k\). По графику левая ветвь гиперболы проходит через точку \(A(-5;-1{,}2)\): \[ k=xy=(-5)\cdot(-1{,}2)=6, \] значит, \(f(x)=\dfrac{6}{x}\). Проверка: при \(x=2\) получаем \(y=3\) — правая ветвь действительно проходит около этой точки.

3. Ищем прямую. Она проходит через \(A(-5;-1{,}2)\) и через точку у правого края \((5;-0{,}2)\): \[ a=\frac{-0{,}2-(-1{,}2)}{5-(-5)}=\frac{1}{10}=0{,}1,\qquad b=-0{,}7. \] То есть \(g(x)=0{,}1x-0{,}7\).

4. Подставляем и решаем: \[ \frac{6}{x}=0{,}1x-0{,}7 \] \[ 6=0{,}1x^2-0{,}7x, \] \[ x^2-7x-60=0, \] \[ D=49+240=289,\qquad x=\frac{7\pm 17}{2}. \] Корни: \(x=-5\) (это точка \(A\)) и \(x=12\) (это точка \(B\)).

Проверка: \(f(12)=\frac{6}{12}=0{,}5\); \(g(12)=0{,}1\cdot 12-0{,}7=0{,}5\). Значения совпали — точка \(B(12;0{,}5)\) действительно лежит на обоих графиках.

Принцип на будущее: пересечение графиков — это общее решение двух уравнений. После подстановки всегда получается квадратное уравнение, корни которого — абсциссы точек пересечения. Если один корень виден на рисунке, второй находится через теорему Виета или по формуле корней.