теорема Пифагора

Краткий ответ

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[ c^{2}=a^{2}+b^{2} \]

где \(c\) — гипотенуза (сторона напротив прямого угла, самая длинная), \(a\) и \(b\) — катеты.

Как применять: три шага

1. Найди гипотенузу. Она всегда лежит против прямого угла \(90^\circ\) и длиннее каждого катета. Если этого не видно на чертеже, сначала убедись, что треугольник прямоугольный.
2. Запиши равенство. Квадраты катетов складываются, а не вычитаются; гипотенуза в формулу входит одна.
3. Извлеки корень. После сложения (или вычитания) нужен ещё шаг \(\sqrt{\ }\) — иначе найдёшь \(c^{2}\), а не \(c\).

Пример

Катеты \(3\) и \(4\):

\[ c^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{25}=5 \]

Обратная задача: гипотенуза \(13\), катет \(5\). Тогда

\[ b^{2}=13^{2}-5^{2}=169-25=144 \quad\Rightarrow\quad b=12 \]

Здесь из суммы вычитаем, потому что неизвестен катет, а не гипотенуза.

Почему это правда (идея доказательства)

Возьмём квадрат со стороной \(a+b\) и разобьём его двумя способами.

• Четыре копии треугольника по краям плюс квадрат со стороной \(c\) в центре: площадь \(4\cdot\frac{ab}{2}+c^{2}\).
• Те же четыре треугольника плюс два квадрата со сторонами \(a\) и \(b\): площадь \(4\cdot\frac{ab}{2}+a^{2}+b^{2}\).

Площадь одной и той же фигуры одна и та же, значит \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\).

Проверка результата

• Гипотенуза должна получиться больше каждого катета. Если вышло меньше — перепутаны роли сторон.
• Подставь ответ обратно: \(c^{2}\) должно точно совпасть с \(a^{2}+b^{2}\).
• Полезно помнить обратную теорему: если для сторон треугольника выполняется \(c^{2}=a^{2}+b^{2}\), то угол против \(c\) прямой.

Частые ошибки

• Складывают катет с гипотенузой: \(a^{2}=b^{2}+c^{2}\) — так нельзя.
• Забывают извлечь корень и пишут \(c=25\) вместо \(5\).
• Применяют теорему к непрямоугольному треугольнику — там работает теорема косинусов: \(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\).
• Считают гипотенузой самую «длинную на вид» сторону, не проверив, где прямой угол.