На рисунке изображены графики функций видов f(x) = k/x и g(x) = ax + b, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
На рисунке изображены графики функций видов \(f(x)=\frac{k}{x}\) и \(g(x)=ax+b\), пересекающиеся в точках \(A\) и \(B\). Найдите абсциссу точки \(B\). [Рисунок: координатная плоскость с сеткой; ось \(y\) направлена вверх, ось \(x\) — вправо. На осях отмечены \(0\) и \(1\) на оси \(x\), \(1\), \(-1\), \(-2\) на оси \(y\), слева на оси \(x\) — \(-5\). В первой и третьей четвертях показаны ветви гиперболы \(y=f(x)\); через них проходит прямая \(y=g(x)\). В левой нижней части отмечена точка \(A\) на пересечении графиков. Около верхней ветви подпись \(y=f(x)\), около прямой справа — \(y=g(x)\).]
Краткий ответ: \(10\).
Считаем, что одна клетка сетки равна \(1\). Прямая \(g(x)=ax+b\) проходит через точки \((0;-1)\) и \((5;0)\). Значит, \[ b=-1,\qquad 0=5a-1 \Rightarrow a=\frac15, \] то есть \[ g(x)=\frac{x}{5}-1. \]
Точка \(A\) лежит в узле \((-5;-2)\). Она принадлежит гиперболе \(f(x)=\frac{k}{x}\), поэтому \[ -2=\frac{k}{-5} \Rightarrow k=10. \] Значит, \[ f(x)=\frac{10}{x}. \]
В точках пересечения: \[ \frac{10}{x}=\frac{x}{5}-1. \] Умножим на \(5x\): \[ 50=x^2-5x, \] \[ x^2-5x-50=0. \] Корни: \[ x_{1,2}=\frac{5\pm15}{2}=-5;\ 10. \] Корень \(x=-5\) соответствует точке \(A\), значит, абсцисса точки \(B\): \[ x=10. \]
Проверка: \(f(10)=1\) и \(g(10)=\frac{10}{5}-1=1\). Всё сходится.
