Решите неравенство 2/(3^x+27) ≥ 1/(3^x−27).

Краткий ответ: \[ x\in(-\infty;3)\cup[4;+\infty) \]

Как решать:

Пусть \[ t=3^x>0. \] Тогда исходное неравенство примет вид \[ \frac{2}{t+27}\ge \frac{1}{t-27}, \] причём \(t\ne27\), так как знаменатель не может быть равен нулю.

Перенесём всё в левую часть: \[ \frac{2}{t+27}-\frac{1}{t-27}\ge0. \] Приведём к общему знаменателю: \[ \frac{2(t-27)-(t+27)}{(t+27)(t-27)}\ge0, \] \[ \frac{t-81}{(t+27)(t-27)}\ge0. \]

Так как \(t+27>0\), знак выражения определяется дробью \[ \frac{t-81}{t-27}. \]

Критические точки: \(t=27\) и \(t=81\). Причём \(t=27\) исключаем, а \(t=81\) включаем.

Получаем: \[ 0<t<27 \quad \text{или} \quad t\ge81. \]

Возвращаемся к \(t=3^x\): \[ 0<3^x<27=3^3 \quad\Rightarrow\quad x<3, \] \[ 3^x\ge81=3^4 \quad\Rightarrow\quad x\ge4. \]

Значит, \[ \boxed{x\in(-\infty;3)\cup[4;+\infty)}. \]

Проверка: при \(x=4\) обе части равны \(\frac1{54}\), а при \(x=3{,}5\) неравенство не выполняется — всё сходится.