x = (x1+x2)/2, y = (y1+y2)/2. № 936. M — середина A и B
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
[Рисунок: отрезок с концами A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), посередине отмечена точка с подписью (x; y)]
\(x=\dfrac{x_1+x_2}{2}\) \(y=\dfrac{y_1+y_2}{2}\)
№ 936
A (2; −3) ___ (0; 1) (c; d) (3; 5) (3t + 5; 7) (1; 3) B (3; −1) (4; 7) ___ ___ (3; 8) (6t + 7; −7) ___ M ___ (−3; −2) (3; −5) (a; b) ___ ___ (0; 0) M — середина A и B
Во 2-й строке 4-го столбца вторая координата точки M читается неоднозначно: b или d.
Краткий ответ
\(M\) — середина отрезка \(AB\), поэтому каждая координата \(M\) — среднее арифметическое координат \(A\) и \(B\). Заполняем таблицу по столбцам:
| Столбец | Дано | Найти | Ответ |
|---|---|---|---|
| 1 | \(A(2;-3)\), \(B(3;-1)\) | \(M\) | \(M(2{,}5;-2)\) |
| 2 | \(B(4;7)\), \(M(-3;-2)\) | \(A\) | \(A(-10;-11)\) |
| 3 | \(A(0;1)\), \(M(3;-5)\) | \(B\) | \(B(6;-11)\) |
| 4 | \(A(c;d)\), \(M(a;b)\) | \(B\) | \(B(2a-c;\,2b-d)\) |
| 5 | \(A(3;5)\), \(B(3;8)\) | \(M\) | \(M(3;6{,}5)\) |
| 6 | \(A(3t+5;7)\), \(B(6t+7;-7)\) | \(M\) | \(M(4{,}5t+6;\,0)\) |
| 7 | \(A(1;3)\), \(M(0;0)\) | \(B\) | \(B(-1;-3)\) |
Как это работает
В тетради записаны формулы середины: \[x=\frac{x_1+x_2}{2},\qquad y=\frac{y_1+y_2}{2}\] То есть координаты середины — это «полусуммы» координат концов.
Если известны середина \(M(x;y)\) и один конец, второй конец находится обратным действием — удвоить координаты середины и вычесть известный конец: \[x_2=2x-x_1,\qquad y_2=2y-y_1\]
По шагам
- 1. Оба конца есть, ищем середину: \(x=\frac{2+3}{2}=2{,}5\), \(y=\frac{-3+(-1)}{2}=-2\).
- 2. Известны \(B(4;7)\) и \(M(-3;-2)\), ищем \(A\): \(x_A=2\cdot(-3)-4=-10\), \(y_A=2\cdot(-2)-7=-11\).
- 3. \(A(0;1)\), \(M(3;-5)\): \(x_B=2\cdot3-0=6\), \(y_B=2\cdot(-5)-1=-11\).
- 4. Буквы считаем как числа: \(x_B=2a-c\), \(y_B=2b-d\).
- 5. \(x=\frac{3+3}{2}=3\), \(y=\frac{5+8}{2}=6{,}5\). Отрезок вертикальный, середина лежит на той же прямой \(x=3\).
- 6. \(x=\frac{(3t+5)+(6t+7)}{2}=\frac{9t+12}{2}=4{,}5t+6\); \(y=\frac{7+(-7)}{2}=0\) — середина лежит на оси \(Ox\).
- 7. \(A(1;3)\), \(M(0;0)\): \(x_B=2\cdot0-1=-1\), \(y_B=2\cdot0-3=-3\).
Проверка
- Столбец 2: \(M\left(\frac{-10+4}{2};\frac{-11+7}{2}\right)=(-3;-2)\) — сходится с условием.
- Столбец 3: \(M\left(\frac{0+6}{2};\frac{1-11}{2}\right)=(3;-5)\) — верно.
- Столбец 6: \(M\left(\frac{3t+5+6t+7}{2};\frac{7-7}{2}\right)=(4{,}5t+6;0)\) — верно.
- Столбец 7: \(M\left(\frac{1-1}{2};\frac{3-3}{2}\right)=(0;0)\) — верно.
Небольшое уточнение по фото: в 4-м столбце вторая буква у \(M\) читается неоднозначно — я взял \(b\). Если там всё-таки \(d\), то \(M(a;d)\), и тогда \(B(2a-c;\,d)\). В 6-м столбце у \(B\) я прочитал \(t\): \((6t+7;-7)\).
