пропиши красиво и подробно
Сверь числа и знаки с фото.
Задание 24
Решите неравенство \[ \frac{2}{3^x + 27} \geq \frac{1}{3^x - 27}. \]
Краткий ответ
\[ x\in(-\infty;3)\cup[4;+\infty) \]
Подробное решение
1. Ограничение
Так как \(3^x>0\), то
\[ 3^x+27>0 \]
для всех \(x\). А знаменатель правой части не должен обращаться в нуль:
\[ 3^x-27\ne0 \]
\[ 3^x\ne27=3^3 \]
\[ x\ne3 \]
Значит, \(x=3\) нужно исключить.
2. Замена переменной
Пусть
\[ t=3^x \]
Тогда \(t>0\), причём \(t\ne27\). Неравенство принимает вид
\[ \frac{2}{t+27}\ge\frac{1}{t-27} \]
Не будем сразу умножать на знаменатели: они могут быть разных знаков. Перенесём всё в левую часть:
\[ \frac{2}{t+27}-\frac{1}{t-27}\ge0 \]
Приведём к общему знаменателю:
\[ \frac{2(t-27)-(t+27)}{(t+27)(t-27)}\ge0 \]
\[ \frac{2t-54-t-27}{(t+27)(t-27)}\ge0 \]
\[ \frac{t-81}{(t+27)(t-27)}\ge0 \]
Поскольку \(t>0\), выражение \(t+27\) всегда положительно. Поэтому его можно не учитывать при определении знака:
\[ \frac{t-81}{t-27}\ge0 \]
3. Метод интервалов
Критические точки:
\[ t=27,\qquad t=81 \]
При этом \(t=27\) не входит, потому что тогда знаменатель равен нулю.
| Промежуток | Знак дроби | Подходит? |
|---|---|---|
| \(0<t<27\) | \(+\) | да |
| \(t=27\) | не существует | нет |
| \(27<t<81\) | \(-\) | нет |
| \(t=81\) | \(0\) | да |
| \(t>81\) | \(+\) | да |
Следовательно,
\[ 0<t<27 \]
или
\[ t\ge81 \]
4. Возвращаемся к \(x\)
Так как \(t=3^x\), получаем:
\[ 0<3^x<27 \]
Но \(3^x>0\) выполняется всегда, поэтому достаточно:
\[ 3^x<3^3 \]
Так как основание \(3>1\), функция \(3^x\) возрастает, значит:
\[ x<3 \]
Второй промежуток:
\[ 3^x\ge81 \]
\[ 3^x\ge3^4 \]
\[ x\ge4 \]
5. Ответ
\[ x\in(-\infty;3)\cup[4;+\infty) \]
Проверка
При \(x=4\):
\[ \frac{2}{3^4+27}=\frac{2}{81+27}=\frac{2}{108}=\frac{1}{54} \]
\[ \frac{1}{3^4-27}=\frac{1}{81-27}=\frac{1}{54} \]
Получаем равенство, значит \(x=4\) входит в ответ.
При \(x=3\) правая часть не определена, поэтому точка исключена.
Главный принцип
Дробное неравенство надёжнее приводить к виду
\[ \frac{\text{числитель}}{\text{знаменатель}}\ge0 \]
и решать методом интервалов. Нельзя просто умножать на знаменатель: при отрицательном знаменателе знак неравенства меняется.
Обсуждение
2 сообщенияПочему ограничение t не равно 27 а не t не равно t плюс минус 27
Отличный вопрос — тут легко запутаться, потому что ограничения бывают «формальные» и «реальные».
1. Откуда вообще берутся ограничения
После замены \(t=3^x\) неравенство имеет вид
\[ \frac{2}{t+27}\ge\frac{1}{t-27} \]
Знаменатели не должны равняться нулю:
\[ t+27\ne0 \quad\Rightarrow\quad t\ne-27 \]
\[ t-27\ne0 \quad\Rightarrow\quad t\ne27 \]
То есть формально, если решать «просто как неравенство с \(t\)», запрещены оба значения:
\[ t\ne-27,\qquad t\ne27 \]
Так что ваша мысль «\(t\ne\pm27\)» возникла не на пустом месте — для самой дроби это верно.
2. Почему в решении остаётся только \(t\ne27\)
Потому что \(t\) — это не любое число, а
\[ t=3^x \]
А показательная функция \(3^x\) всегда положительна:
\[ 3^x>0 \]
Значит,
\[ t>0 \]
и значение \(t=-27\) недостижимо ни при каком действительном \(x\). Уравнение
\[ 3^x=-27 \]
решений не имеет.
Поэтому ограничение \(t\ne-27\) автоматически выполняется: оно уже «спрятано» внутри условия \(t>0\). А вот \(t=27\) вполне достижимо:
\[ 3^x=27 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]
и именно эту точку надо исключить.
3. То же самое на языке \(x\)
Исходные знаменатели:
\[ 3^x+27\ne0 \]
Но \(3^x>0\), поэтому \(3^x+27>27>0\) — нулём быть не может.
\[ 3^x-27\ne0 \quad\Rightarrow\quad 3^x=27 \quad\Rightarrow\quad x=3 \]
Итого: единственное реальное ограничение —
\[ x\ne3 \]
4. Как правильно записывать
Корректно так:
\[ t>0,\qquad t\ne27 \]
или, если хочется явно перечислить оба формальных запрета:
\[ t>0,\qquad t\ne-27,\qquad t\ne27 \]
но второе условие лишнее, поскольку \(t>0\) его уже обеспечивает.
Короткий вывод
- Для дроби с \(t\) формально опасны \(t=-27\) и \(t=27\).
- Но \(t=3^x>0\), поэтому \(t=-27\) невозможно.
- Остаётся только \(t\ne27\), то есть \(x\ne3\).
Именно поэтому в решении фигурирует только \(t\ne27\).
