заполни таблицу

Краткий ответ

Точка \(M\) — середина отрезка \(AB\), поэтому её координаты — средние арифметические координат концов. Заполненная таблица (столбцы 1–8):

Как это устроено

Главная формула — координаты середины:

\[ x_M=\frac{x_A+x_B}{2},\qquad y_M=\frac{y_A+y_B}{2} \]

Отсюда два рабочих случая.

1. Известны оба конца — ищем \(M\) (столбцы 1, 4, 6, 7): просто складываем и делим пополам.

• Столбец 1: \(\frac{2+3}{2}=2{,}5\), \(\frac{-3+(-1)}{2}=-2\).
• Столбец 6: \(\frac{3+3}{2}=3\), \(\frac{5+8}{2}=6{,}5\).
• Столбец 7: \(\frac{(3t+5)+(t+7)}{2}=\frac{4t+12}{2}=2t+6\), а \(\frac{7+(-7)}{2}=0\).

2. Известны \(M\) и один конец — ищем второй (столбцы 2, 3, 5, 8). Формулу переворачиваем: удваиваем координаты середины и вычитаем известный конец:

\[ x_A=2x_M-x_B,\qquad y_A=2y_M-y_B \]

• Столбец 2: \(2\cdot(-3)-4=-10\), \(2\cdot(-2)-7=-11\), значит \(A(-10;-11)\).
• Столбец 3: \(2\cdot3-0=6\), \(2\cdot(-5)-1=-11\), значит \(B(6;-11)\).
• Столбец 5 (буквы): \(x_B=2a-c\), \(y_B=2d-d=d\), то есть \(B(2a-c;d)\). Заметь: раз у \(A\) и \(M\) вторые координаты равны \(d\), то и у \(B\) она равна \(d\) — точки лежат на одной горизонтали.
• Столбец 8: \(2\cdot0-1=-1\), \(2\cdot0-3=-3\), значит \(B(-1;-3)\).

Проверка

Подставлю найденные точки обратно в формулу середины:

• столбец 2: \(\frac{-10+4}{2}=-3\), \(\frac{-11+7}{2}=-2\) — совпало с \(M(-3;-2)\);
• столбец 3: \(\frac{0+6}{2}=3\), \(\frac{1-11}{2}=-5\) — совпало;
• столбец 8: \(\frac{1+(-1)}{2}=0\), \(\frac{3+(-3)}{2}=0\) — совпало с \(M(0;0)\);
• столбец 7: \(\frac{3t+5+t+7}{2}=2t+6\), вторые координаты взаимно уничтожились, дав \(0\).

Всё сходится. В последнем столбце я прочитал \(A(1;3)\); если там стоит \(A(-1;3)\), то \(B\) будет \((1;-3)\).