21.11. Найдите значение выражения: а) 4√81 + √36; б) √49 − 1/5√225; в) −1/√0,16; г) 1/√0,09 − 3√0,81
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
21.11. Найдите значение выражения: а) \(4\sqrt{81}+\sqrt{36}\); б) \(\sqrt{49}-\frac{1}{5}\sqrt{225}\); в) \(-\frac{1}{\sqrt{0{,}16}}\); г) \(\frac{1}{\sqrt{0{,}09}}-3\sqrt{0{,}81}\); д) \(-\sqrt{\frac{9}{16}}-\frac{3}{8}\cdot\sqrt{2\frac{7}{9}}\); е) \(\frac{0{,}1\sqrt{169}}{\sqrt{1{,}44}}\); ж) \(\frac{5}{12}\cdot\sqrt{\frac{16}{25}}\cdot\sqrt{\frac{9}{49}}\); з) \(\frac{\sqrt{0{,}81}}{\sqrt{0{,}01}-\sqrt{0{,}09}}\); и) \(\frac{\sqrt{0{,}36}\cdot\sqrt{0{,}25}}{\sqrt{0{,}0121}}\).
21.12. Какие из следующих утверждений верны: а) \(I\subset R\); б) \(N\subset Z\); в) \(Z\subset Q\); г) \(N\subset R\); д) \(R\subset Z\)?
21.13. Найдите значение выражения \(\sqrt{3a+1}\) при: а) \(a=0\); б) \(a=1\); в) \(a=21\); г) \(a=-0{,}33\); д) \(a=-0{,}32\); е) \(a=2\frac{2}{3}\); ж) \(a=-\frac{8}{25}\); з) \(a=-\frac{16}{75}\); и) \(a=-\frac{7}{121}\). Можно ли найти значение данного выражения при \(a=-1\)?
21.14. При \(m=16\), \(n=20\) найдите значение выражения: а) \(\sqrt{n-m}\); б) \(n\cdot\sqrt{m}\); в) \(\sqrt{n^2-m^2}\); г) \(\sqrt{(m-n)^2}\); д) \(\sqrt{(n-m):m}\); е) \(-\sqrt{(n+5)\cdot m}\).
21.15. Вычислите: а) \(0{,}3+\frac{2}{7}\sqrt{1{,}96}\); б) \(\frac{3}{11}\sqrt{1{,}21}-5\sqrt{0{,}16}\); в) \(-\frac{1}{3}\sqrt{0{,}81}-0{,}2\sqrt{0{,}0025}\); г) \(24:\sqrt{2{,}56}+\frac{3}{28}\sqrt{196}\); д) \(-\sqrt{5\frac{20}{121}}-\frac{1}{11}\cdot\sqrt{6{,}25}\); е) \(15:\sqrt{\frac{4}{25}}+18\cdot\sqrt{2\frac{7}{81}}\); ж) \(\sqrt{5{,}76}:12-6:\sqrt{2\frac{7}{9}}\); з) \(-0{,}1\cdot\sqrt{6\frac{19}{25}}+\sqrt{0{,}36}:\sqrt{1{,}44}\).
21.16. Из чисел \(\frac{2}{7}\); \(\sqrt{7}\); \(\frac{8}{47}\); \(\sqrt{31}\) выберите те, которые нельзя представить в виде бесконечной периодической десятичной [обрезано]
На фото сразу шесть номеров: 21.11–21.16. Ниже — краткие ответы, затем ключевые шаги.
Краткие ответы
21.11.
а) \(42\); б) \(4\); в) \(-2{,}5\); г) \(\frac{19}{30}\); д) \(-\frac{11}{8}\); е) \(\frac{13}{12}\); ж) \(\frac17\); з) \(-4{,}5\); и) \(\frac{30}{11}\).
21.12. Верны а), б), в), г); д) неверно.
21.13.
а) \(1\); б) \(2\); в) \(8\); г) \(0{,}1\); д) \(0{,}2\); е) \(3\);
ж) \(\frac15\); з) \(\frac35\); и) \(\frac{10}{11}\).
При \(a=-1\) в действительных числах значение найти нельзя: под корнем получается \(-2\).
21.14.
а) \(2\); б) \(80\); в) \(12\); г) \(4\); д) \(\frac12\); е) \(-20\).
21.15.
а) \(0{,}7\); б) \(-1{,}7\); в) \(-0{,}31\); г) \(16{,}5\);
д) \(-2{,}5\); е) \(63{,}5\); ж) \(-3{,}4\); з) \(0{,}24\).
21.16. \(\sqrt7\) и \(\sqrt{31}\).
Как считали
21.11
| Пункт | Вычисление | Ответ |
|---|---|---|
| а | \(4\cdot9+6\) | \(42\) |
| б | \(7-\frac15\cdot15\) | \(4\) |
| в | \(-\frac1{0{,}4}\) | \(-2{,}5\) |
| г | \(\frac1{0{,}3}-3\cdot0{,}9=\frac{10}{3}-\frac{27}{10}\) | \(\frac{19}{30}\) |
| д | \(-\frac34-\frac38\cdot\frac53=-\frac34-\frac58\) | \(-\frac{11}{8}\) |
| е | \(\frac{0{,}1\cdot13}{1{,}2}\) | \(\frac{13}{12}\) |
| ж | \(\frac5{12}\cdot\frac45\cdot\frac37\) | \(\frac17\) |
| з | \(\frac{0{,}9}{0{,}1-0{,}3}\) | \(-4{,}5\) |
| и | \(\frac{0{,}6\cdot0{,}5}{0{,}11}\) | \(\frac{30}{11}\) |
21.12
Используем включения множеств:
\[
\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.
\]
Иррациональные числа \(I\) также являются действительными, поэтому \(I\subset R\).
А вот \(\mathbb R\subset\mathbb Z\) неверно: не все действительные числа целые.
21.13
Подставляем \(a\), сначала считаем \(3a+1\), потом извлекаем корень.
| \(a\) | \(3a+1\) | \(\sqrt{3a+1}\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(1\) |
| \(1\) | \(4\) | \(2\) |
| \(21\) | \(64\) | \(8\) |
| \(-0{,}33\) | \(0{,}01\) | \(0{,}1\) |
| \(-0{,}32\) | \(0{,}04\) | \(0{,}2\) |
| \(2\frac23\) | \(9\) | \(3\) |
| \(-\frac8{25}\) | \(\frac1{25}\) | \(\frac15\) |
| \(-\frac{16}{75}\) | \(\frac9{25}\) | \(\frac35\) |
| \(-\frac7{121}\) | \(\frac{100}{121}\) | \(\frac{10}{11}\) |
При \(a=-1\): \[ 3a+1=3\cdot(-1)+1=-2<0. \] Корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.
21.14
При \(m=16,\ n=20\):
| Выражение | Подстановка | Значение |
|---|---|---|
| \(\sqrt{n-m}\) | \(\sqrt{20-16}=\sqrt4\) | \(2\) |
| \(n\cdot\sqrt m\) | \(20\cdot4\) | \(80\) |
| \(\sqrt{n^2-m^2}\) | \(\sqrt{400-256}=\sqrt{144}\) | \(12\) |
| \(\sqrt{(m-n)^2}\) | \(\sqrt{(16-20)^2}=\sqrt{16}\) | \(4\) |
| \(\sqrt{(n-m):m}\) | \(\sqrt{4:16}=\sqrt{\frac14}\) | \(\frac12\) |
| \(-\sqrt{(n+5)\cdot m}\) | \(-\sqrt{25\cdot16}\) | \(-20\) |
21.15
| Пункт | Вычисление | Ответ |
|---|---|---|
| а | \(0{,}3+\frac27\cdot1{,}4\) | \(0{,}7\) |
| б | \(\frac3{11}\cdot1{,}1-5\cdot0{,}4\) | \(-1{,}7\) |
| в | \(-\frac13\cdot0{,}9-0{,}2\cdot0{,}05\) | \(-0{,}31\) |
| г | \(24:1{,}6+\frac3{28}\cdot14\) | \(16{,}5\) |
| д | \(-\frac{25}{11}-\frac1{11}\cdot2{,}5\) | \(-2{,}5\) |
| е | \(15:\frac25+18\cdot\frac{13}{9}\) | \(63{,}5\) |
| ж | \(2{,}4:12-6:\frac53\) | \(-3{,}4\) |
| з | \(-0{,}1\cdot\frac{13}{5}+\frac{0{,}6}{1{,}2}\) | \(0{,}24\) |
21.16
Любое рациональное число можно записать в виде периодической десятичной дроби.
\(\frac27\) и \(\frac8{47}\) — рациональные числа, значит, их можно так записать.
\(\sqrt7\) и \(\sqrt{31}\) — иррациональные числа: они не представляются обыкновенной дробью \(\frac mn\), поэтому их нельзя записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Ответ: \(\sqrt7\) и \(\sqrt{31}\).
Что важно понять
- Арифметический квадратный корень неотрицателен.
- \(\sqrt{x^2}=|x|\), поэтому в 21.14 г получается \(4\), а не \(-4\).
- Под корнем в действительных числах должно быть неотрицательное число.
- Смешанные числа лучше сразу переводить в неправильные дроби: \(2\frac79=\frac{25}{9}\), \(6\frac{19}{25}=\frac{169}{25}\).
Проверка: \(1{,}6^2=2{,}56\), \(0{,}11^2=0{,}0121\), \(13^2=169\), поэтому корни в 21.15 извлечены верно.
