Ниже — полные решения и указания к чертежам. Схемы условные (масштаб не соблюдён), но все ключевые точки указаны точно — по ним легко построить график в тетради.

---

1038

1) \(y=\dfrac1x,\quad y=4x,\quad x=1,\quad y=0\)

Точки пересечения.
Прямая и гипербола:

\[ 4x=\frac1x \Rightarrow 4x^{2}=1 \Rightarrow x=\frac12,\qquad y=2. \]

Значит, \(A\left(\frac12;2\right)\). Далее \(B(1;1)\) — точка гиперболы при \(x=1\), \(C(1;0)\), \(O(0;0)\).

Какая линия сверху.
На \(\left[0;\frac12\right]\) область ограничена сверху прямой \(y=4x\), на \(\left[\frac12;1\right]\) — гиперболой \(y=\dfrac1x\).

Площадь.

\[ S=\int_{0}^{1/2}4x\,dx+\int_{1/2}^{1}\frac{dx}{x} =\left[2x^{2}\right]_{0}^{1/2}+\left[\ln x\right]_{1/2}^{1} =\frac12+\ln 2. \]

Ответ: \(S=\dfrac12+\ln 2\approx 1{,}19\).

Чертёж. Оси \(Ox\), \(Oy\). Отметь \(O(0;0)\), \(A(0{,}5;2)\), \(B(1;1)\), \(C(1;0)\). Проведи:

• отрезок \(OA\) — прямая \(y=4x\);
• дугу \(AB\) — гипербола \(y=\dfrac1x\) (выпуклая вниз);
• отрезок \(BC\) — вертикаль \(x=1\);
• отрезок \(CO\) — по оси \(Ox\).

Закрась криволинейный треугольник \(OABC\).

 y
 2 |      A
   |     / \
 1 |    /   B
   |   /    |
 0 O--+----C---- x

---

2) \(y=\dfrac1{x^{2}},\quad y=x,\quad x=2,\quad y=0\)

Точки пересечения.

\[ x=\frac1{x^{2}} \Rightarrow x^{3}=1 \Rightarrow x=1,\qquad y=1. \]

Точка \(A(1;1)\). Ещё \(O(0;0)\), \(C(2;0)\), \(D\left(2;\frac14\right)\).

Границы. На \([0;1]\) сверху \(y=x\), на \([1;2]\) сверху \(y=\dfrac1{x^{2}}\).

Площадь.

\[ S=\int_{0}^{1}x\,dx+\int_{1}^{2}\frac{dx}{x^{2}} =\frac12+\left[-\frac1x\right]_{1}^{2} =\frac12+\left(1-\frac12\right)=1. \]

Ответ: \(S=1\).

Чертёж. Точки \(O(0;0)\), \(A(1;1)\), \(D\left(2;\frac14\right)\), \(C(2;0)\). Контур: \(O\to A\) по прямой \(y=x\), \(A\to D\) по гиперболе \(y=\dfrac1{x^{2}}\), \(D\to C\) по вертикали \(x=2\), \(C\to O\) по оси \(Ox\). Закрась область.

 y
 1 |    A
   |   / \
   |  /   \
 0 O------D,C---- x

---

3) \(y=x^{2}+1,\quad y=x+1\)

Точки пересечения.

\[ x^{2}+1=x+1 \Rightarrow x^{2}-x=0 \Rightarrow x=0,\quad x=1. \]

Точки \(A(0;1)\), \(B(1;2)\).

Границы. На \([0;1]\) прямая выше параболы, так как \(x\ge x^{2}\).

Площадь.

\[ S=\int_{0}^{1}\bigl((x+1)-(x^{2}+1)\bigr)dx =\int_{0}^{1}(x-x^{2})\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} =\frac12-\frac13=\frac16. \]

Ответ: \(S=\dfrac16\).

Чертёж. Парабола \(y=x^{2}+1\) с вершиной \(A(0;1)\) и прямая \(y=x+1\), проходящая через \(A(0;1)\) и \(B(1;2)\). Между точками \(A\) и \(B\) прямая идёт над параболой — закрась узкую область между ними.

 y
 2 |      B
   |     /|
 1 A----/ |
   |  _/  |
 0 O------C---- x

---

4) \(y=x^{2}+2,\quad y=2x+2\)

Точки пересечения.

\[ x^{2}+2=2x+2 \Rightarrow x^{2}-2x=0 \Rightarrow x=0,\quad x=2. \]

Точки \(A(0;2)\), \(B(2;6)\).

Границы. На \([0;2]\) прямая выше: \(2x\ge x^{2}\).

Площадь.

\[ S=\int_{0}^{2}\bigl((2x+2)-(x^{2}+2)\bigr)dx =\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx =\left[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =4-\frac83=\frac43. \]

Ответ: \(S=\dfrac43\).

Чертёж. Прямая через \(A(0;2)\) и \(B(2;6)\); парабола с вершиной \(A(0;2)\) (проходит через \((1;3)\)). Закрась область между прямой и параболой от \(x=0\) до \(x=2\).

 y
 6 |        B
   |      _/
 3 |    _/
 2 A---/
 0 O---------- x

---

1039

1) \(y=(x-3)^{2},\quad y=(x+2)^{2},\quad y=0\)

Точки пересечения парабол.

\[ (x-3)^{2}=(x+2)^{2} \Rightarrow x=\frac12,\qquad y=\left(\frac12+2\right)^{2}=\frac{25}{4}. \]

Вершины: \((-2;0)\) и \((3;0)\). Точка пересечения \(A\left(\frac12;\frac{25}{4}\right)\).

Границы. На \(\left[-2;\frac12\right]\) сверху левая парабола \((x+2)^{2}\), на \(\left[\frac12;3\right]\) — правая \((x-3)^{2}\).

Площадь.

\[ S=\int_{-2}^{1/2}(x+2)^{2}dx+\int_{1/2}^{3}(x-3)^{2}dx. \]

Первая:

\[ \left[\frac{(x+2)^{3}}{3}\right]_{-2}^{1/2} =\frac{(5/2)^{3}}{3}=\frac{125}{24}. \]

Вторая:

\[ \left[\frac{(x-3)^{3}}{3}\right]_{1/2}^{3} =\frac{(5/2)^{3}}{3}=\frac{125}{24}. \]

Итого:

\[ S=\frac{125}{24}+\frac{125}{24}=\frac{125}{12}. \]

Ответ: \(S=\dfrac{125}{12}\approx 10{,}42\).

Чертёж. Две параболы ветвями вверх: левая с вершиной \((-2;0)\), правая с вершиной \((3;0)\). Они пересекаются в \(A\left(\frac12;6{,}25\right)\). Контур области: \((-2;0)\to A\) по левой параболе, \(A\to(3;0)\) по правой, затем по оси \(Ox\) обратно к \((-2;0)\). Закрась.

 y
25/4 |      A
     |    /   \
 0   *---/-----\--- x
    -2          3

---

2) \(y=x^{2}+1,\quad y=3-x^{2}\)

Точки пересечения.

\[ x^{2}+1=3-x^{2} \Rightarrow 2x^{2}=2 \Rightarrow x=\pm1. \]

Точки \((-1;2)\) и \((1;2)\).

Границы. Сверху \(y=3-x^{2}\).

Площадь.

\[ S=\int_{-1}^{1}\bigl((3-x^{2})-(x^{2}+1)\bigr)dx =\int_{-1}^{1}(2-2x^{2})\,dx =\left[2x-\frac{2x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\frac83. \]

Ответ: \(S=\dfrac83\).

Чертёж. Верхняя парабола \(y=3-x^{2}\) с вершиной \((0;3)\), нижняя \(y=x^{2}+1\) с вершиной \((0;1)\). Они пересекаются в \((-1;2)\) и \((1;2)\). Закрась «линзу» между ними.

 y
 3 |    ^
   |   / \
 2 |  *   *
   |   \ /
 1 |    v
 0 O--------- x

---

3) \(y=x^{2},\quad y=2\sqrt{2x}\)

Точки пересечения.

\[ x^{2}=2\sqrt{2x}. \]

При \(x\ge0\) возводим в квадрат:

\[ x^{4}=8x \Rightarrow x(x^{3}-8)=0 \Rightarrow x=0,\quad x=2. \]

Точка \(A(2;4)\).

Границы. На \([0;2]\) сверху \(y=2\sqrt{2x}\) (при \(x=1\): \(2\sqrt2\approx2{,}83>1\)).

Площадь.

\[ S=\int_{0}^{2}\left(2\sqrt{2x}-x^{2}\right)dx. \]

Первообразная:

\[ \int 2\sqrt{2x}\,dx=2\sqrt2\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}=\frac{4\sqrt2}{3}x^{3/2}. \]

Тогда

\[ S=\left[\frac{4\sqrt2}{3}x^{3/2}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} =\frac{16}{3}-\frac83=\frac83. \]

Ответ: \(S=\dfrac83\).

Чертёж. Парабола \(y=x^{2}\) и кривая \(y=2\sqrt{2x}\). Обе выходят из \(O(0;0)\) и встречаются в \(A(2;4)\). Промежуточные точки второй кривой: \(\left(\frac12;2\right)\), \((1;2\sqrt2)\). Закрась область между ними.

 y
 4 |        A
   |      _/
 2 |   _/
 1 | _/
 0 O---------- x

---

4) \(y=\sqrt{x},\quad y=\sqrt{4-3x},\quad y=0\)

Точки пересечения.

\[ \sqrt{x}=\sqrt{4-3x} \Rightarrow x=4-3x \Rightarrow x=1,\quad y=1. \]

Точка \(A(1;1)\). Вторая кривая пересекает ось \(Ox\):

\[ 4-3x=0 \Rightarrow x=\frac43. \]

Точка \(B\left(\frac43;0\right)\).

Границы. Контур: \(O(0;0)\to A(1;1)\) по \(y=\sqrt{x}\), затем \(A\to B\) по \(y=\sqrt{4-3x}\), затем \(B\to O\) по оси \(Ox\).

Площадь.

\[ S=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{4/3}\sqrt{4-3x}\,dx. \]

Первая:

\[ \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{1}=\frac23. \]

Вторая (замена \(t=4-3x\), \(dt=-3dx\)):

\[ \int_{1}^{4/3}\sqrt{4-3x}\,dx =\frac13\int_{0}^{1}\sqrt{t}\,dt =\frac13\cdot\frac23=\frac29. \]

Итого:

\[ S=\frac23+\frac29=\frac89. \]

Ответ: \(S=\dfrac89\).

Чертёж. Отметь \(O(0;0)\), \(A(1;1)\), \(B\left(\frac43;0\right)\). Проведи дугу \(y=\sqrt{x}\) от \(O\) до \(A\), затем дугу \(y=\sqrt{4-3x}\) от \(A\) вниз до \(B\) (эта же кривая проходит через \((0;2)\) — но в область входит только её часть правее \(A\)). Замкни контур по оси \(Ox\) от \(B\) к \(O\) и закрась.

 y
 1 |    A
   |   / \
 0 O---/---B----- x
        4/3

---

Общий алгоритм для похожих задач

1. Найди все точки пересечения линий между собой и с осью \(Ox\).
2. Разбей промежуток интегрирования точками пересечения.
3. На каждом промежутке определи, какая функция выше (подставь пробную точку).
4. Считай \(S=\int_a^b (f_{\text{верх}}-f_{\text{низ}})\,dx\).
5. Проверь знак: подынтегральная разность должна быть неотрицательной.

Если нужно, могу отдельно расписать построение какой-то одной из парабол по точкам или проверить твой чертёж.

Решения оставляю прежними, ниже — точная разметка для чертежа на клетчатой бумаге.

Договоримся: \(X\) — число клеток вправо от начала координат, \(Y\) — вверх. В таблицах даю координаты в клетках.

---

1038

1) \(y=\dfrac1x,\ y=4x,\ x=1,\ y=0\)

Масштаб: 1 клетка = 0,5.

Точка	Клетки
\(O\)	\((0;0)\)
\(A\)	\((1;4)\)
\(B\)	\((2;2)\)
\(C\)	\((2;0)\)

Как вести линии:

• \(OA\) — прямая \(Y=4X\): из \((0;0)\) в \((1;4)\);
• \(AB\) — гипербола \(Y=\dfrac4X\): через \((1;4)\), \((1{,}5;2{,}7)\), \((2;2)\);
• \(BC\) — вертикаль \(X=2\) от \(Y=2\) до \(0\);
• \(CO\) — по оси \(X\).

Закрась область под \(OA\) и \(AB\) до оси \(X\).

---

2) \(y=\dfrac1{x^2},\ y=x,\ x=2,\ y=0\)

Масштаб: 1 клетка = 0,5.

Точка	Клетки
\(O\)	\((0;0)\)
\(A\)	\((2;2)\)
\(D\)	\((4;0{,}5)\)
\(C\)	\((4;0)\)

Линии:

• \(OA\) — прямая \(Y=X\);
• \(AD\) — гипербола \(Y=\dfrac8{X^2}\): через \((2;2)\), \((3;0{,}9)\), \((4;0{,}5)\);
• \(DC\) — вертикаль \(X=4\) вниз до \(0\);
• \(CO\) — по оси \(X\).

---

3) \(y=x^2+1,\ y=x+1\)

Масштаб: 1 клетка = 0,5.

Точка	Клетки
\(A\)	\((0;2)\)
\(B\)	\((2;4)\)
доп. на параболе	\((1;2{,}5)\)

Линии:

• парабола \(Y=0{,}5X^2+2\): \((0;2)\to(1;2{,}5)\to(2;4)\);
• прямая \(Y=X+2\): \((0;2)\to(1;3)\to(2;4)\).

Закрась узкую полоску между ними от \(X=0\) до \(X=2\).

---

4) \(y=x^2+2,\ y=2x+2\)

Масштаб: 1 клетка = 1.

Точка	Клетки
\(A\)	\((0;2)\)
\(B\)	\((2;6)\)
парабола, доп.	\((1;3)\)
прямая, доп.	\((1;4)\)

Линии:

• парабола \(Y=X^2+2\);
• прямая \(Y=2X+2\).

Закрась область между ними.

---

1039

1) \(y=(x-3)^2,\ y=(x+2)^2,\ y=0\)

Масштаб: 1 клетка = 1.

Точка	Клетки
левая вершина	\((-2;0)\)
правая вершина	\((3;0)\)
пересечение \(A\)	\((0{,}5;6{,}25)\)
левая парабола, доп.	\((-1;1),\ (0;4)\)
правая парабола, доп.	\((2;1),\ (1;4)\)

Линии:

• левая парабола \(Y=(X+2)^2\);
• правая парабола \(Y=(X-3)^2\);
• ось \(X\) от \(-2\) до \(3\).

Точку \(A\) отметь чуть выше шестой клетки — на \(6{,}25\). Закрась область под параболами.

---

2) \(y=x^2+1,\ y=3-x^2\)

Масштаб: 1 клетка = 0,5.

Точка	Клетки
левое пересечение	\((-2;4)\)
правое пересечение	\((2;4)\)
нижняя вершина	\((0;2)\)
верхняя вершина	\((0;6)\)
доп. точки	\((\pm1;2{,}5)\) и \((\pm1;5{,}5)\)

Линии:

• нижняя парабола \(Y=0{,}5X^2+2\);
• верхняя парабола \(Y=6-0{,}5X^2\).

Закрась «линзу» между ними от \(X=-2\) до \(X=2\).

---

3) \(y=x^2,\ y=2\sqrt{2x}\)

Масштаб: 1 клетка = 1.

Точка	Клетки
\(O\)	\((0;0)\)
\(A\)	\((2;4)\)
парабола, доп.	\((1;1)\)
кривая, доп.	\((0{,}5;2),\ (1;2{,}8),\ (1{,}5;3{,}5)\)

Линии:

• парабола \(Y=X^2\);
• кривая \(Y=2\sqrt{2X}\).

Закрась область между ними от \(O\) до \(A\).

---

4) \(y=\sqrt{x},\ y=\sqrt{4-3x},\ y=0\)

Масштаб: 1 клетка = 0,5.

Точка	Клетки
\(O\)	\((0;0)\)
\(A\)	\((2;2)\)
\(B\)	\(\left(\frac83;0\right)\approx(2{,}67;0)\)
первая дуга, доп.	\((1;1{,}4)\)
вторая дуга, доп.	\((2{,}5;1)\)

Линии:

• первая дуга \(Y=\sqrt{2X}\): от \(O\) до \(A\);
• вторая дуга \(Y=2\sqrt{4-1{,}5X}\): только от \(A(2;2)\) до \(B\left(\frac83;0\right)\);
• \(BO\) — по оси \(X\).

Закрась область между дугами и осью.

---

Порядок работы: сначала отметь все точки из таблиц, затем проведи линии по линейке или плавно от руки, в конце закрась нужную область. Если пришлёшь фото чертежа, проверю расположение точек и границы области.