Подчеркнуть подлежащее и сказуемое в каждом предложении. Он бросил курить. Эти молекулы могут понемногу

Во всех предложениях сказуемое составное глагольное: вспомогательное слово + инфинитив. Поэтому подчёркиваем оба компонента.

1. Он — подлежащее; бросил курить — сказуемое.
2. Молекулы — подлежащее («эти» — определение); могут … просачиваться — сказуемое.
3. Он — подлежащее; должен спать — сказуемое.
4. Он — подлежащее; ухитрился … купить — сказуемое.
5. Он — подлежащее; пустился рассуждать — сказуемое.
6. Я — подлежащее; решил остаться — сказуемое.
7. Я — подлежащее; обязан выполнять — сказуемое.

Как не ошибиться: вспомогательная часть выражает возможность, долженствование, решение или начало/конец действия: могут, должен, ухитрился, пустился, решил, обязан, бросил в значении «перестал». Инфинитив называет само действие: просачиваться, спать, купить, рассуждать, остаться, выполнять, курить. Оба слова относятся к одному и тому же действующему лицу, поэтому входят в сказуемое.

Проверка: он (что сделал?) бросил курить; молекулы (что могут делать?) могут просачиваться. Слова «понемногу» и «всё-таки» — не части сказуемого.