Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найти углы треугольника KMO, если ∠MNP = 80°

1)
Дано: ромб \(KMNP\), диагонали пересекаются в точке \(O\); \(\angle MKP=80^\circ\).
Найти: углы \(\triangle KMO\).

Решение:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. \[ \angle KOM=90^\circ,\qquad \angle MKO=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \] Тогда \[ \angle KMO=90^\circ-40^\circ=50^\circ. \]

Ответ: \(40^\circ,\ 50^\circ,\ 90^\circ\).

---

2)
Дано: равнобедренная трапеция; один её угол на \(30^\circ\) больше другого.
Найти: углы трапеции.

Решение:
Сумма соседних углов равнобедренной трапеции равна \(180^\circ\). Пусть меньший угол \(x\), тогда: \[ x+(x+30^\circ)=180^\circ, \] \[ 2x=150^\circ,\qquad x=75^\circ. \] Второй угол: \[ 75^\circ+30^\circ=105^\circ. \]

Ответ: \(75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ\).

---

3)
Дано: \(ABCD\) — ромб; \(\angle ABC=156^\circ\).
Найти: \(\angle ACD\).

Решение:
Соседние углы ромба в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle BCD=180^\circ-156^\circ=24^\circ. \] Диагональ \(AC\) делит угол \(BCD\) пополам: \[ \angle ACD=\frac{24^\circ}{2}=12^\circ. \]

Ответ: \(12^\circ\).

Объясняю по порядку — с «Дано» и пояснением каждого шага.

---

1) Ромб \(KMNP\), \(\angle MKP=80^\circ\)

Дано: \(KMNP\) — ромб, диагонали пересекаются в точке \(O\), \(\angle MKP=80^\circ\).
Найти: углы \(\triangle KMO\).

Решение:

1. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому \[ \angle KOM=90^\circ. \] Почему: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Треугольник, образованный двумя соседними сторонами ромба и одной диагональю, равнобедренный, а отрезок второй диагонали от вершины до точки \(O\) — его медиана. В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, значит диагонали перпендикулярны.

2. Диагональ ромба делит его угол пополам, поэтому \[ \angle MKO=\frac{\angle MKP}{2}=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \] Почему: диагональ \(KN\) разбивает ромб на два равных треугольника (по трём сторонам), значит она является биссектрисой угла \(K\). А \(KO\) лежит на этой диагонали.

3. Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\): \[ \angle KMO=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ. \]

Ответ: \(\angle MKO=40^\circ,\ \angle KMO=50^\circ,\ \angle KOM=90^\circ\).

---

2) Равнобедренная трапеция, один угол на \(30^\circ\) больше другого

Дано: равнобедренная трапеция; один угол на \(30^\circ\) больше другого.
Найти: все углы трапеции.

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. А углы, прилежащие к боковой стороне, — соседние при параллельных основаниях и секущей, поэтому их сумма \(180^\circ\). Значит, «больший» и «меньший» углы — это как раз углы при разных основаниях.

2. Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший \(x+30^\circ\). Составляем уравнение: \[ x+(x+30^\circ)=180^\circ. \] \[ 2x=150^\circ,\qquad x=75^\circ. \]

3. Больший угол: \[ 75^\circ+30^\circ=105^\circ. \]

Ответ: \(75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ\).

---

3) Ромб \(ABCD\), \(\angle ABC=156^\circ\)

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle ABC=156^\circ\).
Найти: \(\angle ACD\).

Решение:

1. В ромбе, как и в любом параллелограмме, соседние углы в сумме дают \(180^\circ\) (это односторонние углы при параллельных прямых \(AB\parallel CD\) и секущей \(BC\)). Поэтому \[ \angle BCD=180^\circ-156^\circ=24^\circ. \]

2. Диагональ \(AC\) является биссектрисой угла \(C\), поэтому \[ \angle ACD=\frac{\angle BCD}{2}=\frac{24^\circ}{2}=12^\circ. \] Почему: треугольники \(ABC\) и \(ADC\) равны по трём сторонам (\(AB=AD\), \(BC=CD\), \(AC\) — общая), значит \(\angle BCA=\angle DCA\), то есть \(AC\) делит угол \(C\) пополам.

Ответ: \(\angle ACD=12^\circ\).

1. \(\angle KOM=90^\circ\),
   \(\angle MKO=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ\),
   \(\angle KMO=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ\).

Ответ: \(40^\circ,\ 50^\circ,\ 90^\circ\).

2. Пусть меньший угол \(x\), тогда
   \[ x+(x+30^\circ)=180^\circ \Rightarrow 2x=150^\circ \Rightarrow x=75^\circ. \] Второй угол: \(75^\circ+30^\circ=105^\circ\).

Ответ: \(75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ\).

3. \(\angle BCD=180^\circ-156^\circ=24^\circ\),
   \[ \angle ACD=\frac{24^\circ}{2}=12^\circ. \]

Ответ: \(12^\circ\).

Это продолжение решения листа: пункты 1, 4, 5 новые, а 2, 3, 6 уже разобраны.

1. Верные утверждения: 1, 3.

• 1. В параллелограмме противоположные углы равны — верно.
• 2. Квадрат всегда является прямоугольником — неверно.
• 3. Диагонали равнобедренной трапеции равны — верно.
• 4. У ромба равны только противоположные углы, а не все — неверно.

2. \(\angle MKP=\angle MNP=80^\circ\) (противоположные углы ромба). \[ \angle KMO=90^\circ,\quad \angle MKO=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ,\quad \angle KMO=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ. \] Ответ: \(40^\circ,\ 50^\circ,\ 90^\circ\).

3. Пусть меньший угол \(x\), тогда больший \(x+30^\circ\): \[ x+x+30^\circ=180^\circ \Rightarrow x=75^\circ. \] Ответ: \(75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ\).

4. Пусть стороны \(3x\) и \(x\): \[ 2(3x+x)=40 \Rightarrow 8x=40 \Rightarrow x=5. \] Стороны: \(3\cdot5=15\) см и \(5\) см. Ответ: \(15\) см и \(5\) см.

5. Два угла прямоугольной трапеции при перпендикулярной боковой стороне равны \(90^\circ\). Остальные углы \(x\) и \(y\): \[ x+y=180^\circ,\quad x-y=48^\circ. \] Складываем: \(2x=228^\circ \Rightarrow x=114^\circ\), тогда \(y=66^\circ\). Ответ: \(90^\circ,\ 90^\circ,\ 114^\circ,\ 66^\circ\).

6. \(\angle BCD=180^\circ-156^\circ=24^\circ\), диагональ \(AC\) делит его пополам: \[ \angle ACD=\frac{24^\circ}{2}=12^\circ. \] Ответ: \(12^\circ\).

Сначала исправлю ошибку в пункте 1: утверждение 2 тоже верное — квадрат действительно является прямоугольником. Поэтому верные утверждения: 1, 2, 3, а не 1 и 3.

---

1. Верные утверждения

1. «В параллелограмме противоположные углы равны» — верно. Это свойство параллелограмма.

2. «Квадрат всегда является прямоугольником» — верно. У квадрата все углы прямые, а прямоугольник — это параллелограмм с прямыми углами. Квадрат — частный случай прямоугольника.

3. «Диагонали равнобедренной трапеции равны» — верно. Это свойство равнобедренной трапеции.

4. «В ромбе все углы равны» — неверно. В ромбе равны только противоположные углы; все углы равны лишь у квадрата.

Ответ: 1, 2, 3.

---

2. Углы треугольника \(KMO\)

Дано: \(KMNP\) — ромб, диагонали пересекаются в точке \(O\), \(\angle MKP=80^\circ\).

В ромбе диагонали:

• взаимно перпендикулярны;
• делят углы ромба пополам.

Диагональ \(KN\) делит угол \(K\) пополам, поэтому

\[ \angle MKO=\frac{80^\circ}{2}=40^\circ. \]

Диагонали перпендикулярны, значит

\[ \angle KOM=90^\circ. \]

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\), поэтому

\[ \angle KMO=180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ. \]

Ответ: \(\angle MKO=40^\circ,\ \angle KMO=50^\circ,\ \angle KOM=90^\circ\).

---

3. Углы равнобедренной трапеции

Дано: один угол трапеции на \(30^\circ\) больше другого.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\).

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший равен \(x+30^\circ\). Получаем:

\[ x+(x+30^\circ)=180^\circ, \]

\[ 2x=150^\circ, \]

\[ x=75^\circ. \]

Тогда больший угол:

\[ 75^\circ+30^\circ=105^\circ. \]

Ответ: \(75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ\).

---

4. Стороны

Пусть одна сторона равна \(x\), а другая — \(3x\). Противоположные стороны равны, поэтому периметр:

\[ P=2(x+3x). \]

По условию \(P=40\):

\[ 2\cdot 4x=40, \]

\[ 8x=40, \]

\[ x=5. \]

Значит, вторая сторона:

\[ 3x=15. \]

Ответ: \(15\) см и \(5\) см.

---

5. Углы прямоугольной трапеции

В прямоугольной трапеции два угла при перпендикулярной боковой стороне равны \(90^\circ\).

Пусть два других угла равны \(x\) и \(y\), причём \(x>y\). Их сумма равна \(180^\circ\), потому что они прилежат к боковой стороне трапеции. По условию их разность равна \(48^\circ\):

\[ x+y=180^\circ, \]

\[ x-y=48^\circ. \]

Сложим уравнения:

\[ 2x=228^\circ, \]

\[ x=114^\circ. \]

Тогда

\[ y=180^\circ-114^\circ=66^\circ. \]

Ответ: \(90^\circ,\ 90^\circ,\ 114^\circ,\ 66^\circ\).

---

6. Угол \(\angle ACD\)

Дано: \(ABCD\) — ромб, \(\angle ABC=156^\circ\).

В ромбе соседние углы в сумме дают \(180^\circ\). Поэтому

\[ \angle BCD=180^\circ-156^\circ=24^\circ. \]

Диагональ ромба делит его угол пополам. Значит, диагональ \(AC\) делит угол \(BCD\) на два равных угла:

\[ \angle ACD=\angle BCA=\frac{24^\circ}{2}=12^\circ. \]

Ответ: \(\angle ACD=12^\circ\).