реши 180,181,182,183
Сверь числа и знаки с фото.
- На продолжении медианы \(AM\) треугольника \(ABC\) за точку \(M\) отложен отрезок \(MK\), равный \(AM\). Найдите расстояние от точки \(K\) до вершины \(C\), если \(AB = 6\) см.
- Отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\) и делятся этой точкой пересечения пополам. Докажите, что \(\triangle ABC = \triangle BAD\).
- На рисунке 148 прямые \(m\) и \(n\) — серединные перпендикуляры сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\). Докажите, что точка \(O\) равноудалена от всех вершин данного треугольника. [Рисунок 148: треугольник \(ABC\); прямые \(m\) и \(n\) пересекаются в точке \(O\).]
- Для нахождения расстояния от точки \(B\) до колокольни \(A\), расположенной на другом берегу реки (рис. 149), с помощью вешек, рулетки и астролябии отметили на местности точки \(C\), \(D\) и \(E\) так, что \(B\), \(C\) и \(D\) лежат на одной прямой, причём точка \(C\) является серединой отрезка \(BD\), и наметили прямую \(AE\), проходящую через точку \(C\), причём \(\angle ABC = \angle CDE\). Потом, измерив одну из сторон треугольника \(CDE\), определили расстояние от \(B\) до \(A\). Какую сторону измерили? Ответ обоснуйте*. [Рисунок 149: местность с рекой; отмечены точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\); \(B, C, D\) лежат на одной прямой; \(A, C, E\) лежат на одной прямой.]
Кратко:
180 — \(KC=6\) см;
181 — \(\triangle ABC\cong\triangle BAD\);
182 — \(OA=OB=OC\);
183 — измеряли сторону \(DE\).
180.
\(M\) — середина \(BC\), поэтому \(BM=MC\). Дано \(AM=MK\). Углы \(\angle AMB\) и \(\angle KMC\) вертикальные, значит треугольники \(AMB\) и \(KMC\) равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, соответственные стороны \(AB\) и \(KC\) равны:
\[ KC=AB=6\text{ см}. \]
181.
Из условия \(AO=OB\), \(CO=OD\). Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) вертикальные, поэтому
\[ \triangle AOC\cong\triangle BOD \]
по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(AC=BD\).
Аналогично \(\triangle AOD\cong\triangle BOC\), поэтому \(AD=BC\).
Теперь рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(BAD\):
- \(AB\) — общая сторона;
- \(AC=BD\);
- \(BC=AD\).
Значит,
\[ \triangle ABC\cong\triangle BAD \]
по трём сторонам, что и требовалось доказать.
182.
Точка \(O\) лежит на серединном перпендикуляре \(m\) к отрезку \(AB\), поэтому
\[ OA=OB. \]
Точка \(O\) лежит и на серединном перпендикуляре \(n\) к отрезку \(AC\), поэтому
\[ OA=OC. \]
Следовательно,
\[ OA=OB=OC. \]
То есть точка \(O\) равноудалена от всех трёх вершин треугольника \(ABC\).
183.
Нужно измерить сторону \(DE\).
Действительно, \(C\) — середина \(BD\), значит
\[ BC=CD. \]
Точки \(A,C,E\) лежат на одной прямой, а \(B,C,D\) — тоже на одной прямой, поэтому углы при \(C\) вертикальные:
\[ \angle ACB=\angle DCE. \]
По условию
\[ \angle ABC=\angle CDE. \]
Значит, треугольники \(ABC\) и \(EDC\) равны по стороне и двум прилежащим углам. Тогда соответственные стороны \(AB\) и \(ED\) равны:
\[ AB=DE. \]
Поэтому, измерив \(DE\), мы узнаём расстояние \(AB\).
Проверка: в 180 \(KC\) соответствует \(AB\); в 181 совпали все три пары сторон; в 182 равенства \(OA=OB\) и \(OA=OC\) дают равноудалённость; в 183 сторона \(DE\) — именно та, которая соответствует искомой \(AB\).
Обсуждение
2 сообщенияА решение
Ниже — полное оформление решений.
№ 180
Дано: \(M\) — середина \(BC\), \(AM=MK\), \(A,M,K\) лежат на одной прямой, \(AB=6\) см.
Найти: \(KC\).
Решение:
Так как \(M\) — середина \(BC\), то \[ BM=MC. \]
По условию \[ AM=MK. \]
Углы \(\angle AMB\) и \(\angle KMC\) вертикальные, значит \[ \angle AMB=\angle KMC. \]
Следовательно, \[ \triangle AMB=\triangle KMC \] по двум сторонам и углу между ними.
В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому \[ KC=AB=6\text{ см}. \]
Ответ: \(KC=6\) см.
№ 181
Дано: отрезки \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\), причём
\[
AO=OB,\qquad CO=OD.
\]
Доказать: \(\triangle ABC=\triangle BAD\).
Доказательство:
- Рассмотрим \(\triangle AOC\) и \(\triangle BOD\): \[ AO=OB,\qquad CO=OD, \] а углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) вертикальные: \[ \angle AOC=\angle BOD. \] Значит, \[ \triangle AOC=\triangle BOD \] по двум сторонам и углу между ними.
Следовательно, \[ AC=BD. \]
- Рассмотрим \(\triangle AOD\) и \(\triangle BOC\): \[ AO=OB,\qquad DO=CO, \] а углы \(\angle AOD\) и \(\angle BOC\) вертикальные: \[ \angle AOD=\angle BOC. \] Значит, \[ \triangle AOD=\triangle BOC. \]
Следовательно, \[ AD=BC. \]
- Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle BAD\):
- \(AB\) — общая сторона;
- \(AC=BD\);
- \(BC=AD\).
По трём сторонам \[ \triangle ABC=\triangle BAD. \]
Что и требовалось доказать.
№ 182
Дано: точка \(O\) лежит на серединном перпендикуляре \(m\) к отрезку \(AB\) и на серединном перпендикуляре \(n\) к отрезку \(AC\).
Доказать:
\[
OA=OB=OC.
\]
Доказательство:
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов.
Так как \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AB\), то \[ OA=OB. \]
Так как \(O\) лежит на серединном перпендикуляре к \(AC\), то \[ OA=OC. \]
Значит, \[ OA=OB=OC. \]
Что и требовалось доказать.
№ 183
Дано: \(C\) — середина \(BD\), точки \(A,C,E\) лежат на одной прямой,
\[
\angle ABC=\angle CDE.
\]
Доказать: \(AB=DE\), то есть для нахождения \(AB\) достаточно измерить \(DE\).
Доказательство:
Так как \(C\) — середина \(BD\), то \[ BC=CD. \]
Углы \(\angle ACB\) и \(\angle DCE\) вертикальные, поэтому \[ \angle ACB=\angle DCE. \]
По условию \[ \angle ABC=\angle CDE. \]
Значит, треугольники \(ABC\) и \(EDC\) равны по стороне и двум прилежащим углам: \[ \triangle ABC=\triangle EDC. \]
В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому \[ AB=DE. \]
Следовательно, чтобы узнать \(AB\), нужно измерить \(DE\).
Ответ: измеряют сторону \(DE\).
